n
{\displaystyle n}
நேர்ம முழு எண் ணானால்,
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,
n
{\displaystyle n}
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
φ
:
n
↦
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi :n\mapsto \varphi (n)}
ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு அல்லது ஆய்லர்
φ
{\displaystyle \varphi }
எனப் பெயர்.
எ.கா.:
φ
(
6
)
=
|
{
1
,
5
}
|
=
2.
{\displaystyle \varphi (6)=|\{1,5\}|=2.}
φ
(
20
)
=
|
{
1
,
3
,
7
,
9
,
11
,
13
,
17
,
19
}
|
=
8
{\displaystyle \varphi (20)=|\{1,3,7,9,11,13,17,19\}|=8}
சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு:
p
{\displaystyle p}
φ
(
p
)
=
p
−
1
{\displaystyle \varphi (p)=p-1}
டோஷண்ட் சார்பின் முதல் 100 மதிப்புகள்
தொகு
n
{\displaystyle n\,}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
1
1
2
2
4
2
6
4
6
4
10
4
12
6
8
8
16
6
18
8
n
{\displaystyle n\,}
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
12
10
22
8
20
12
18
12
28
8
30
16
20
16
24
12
36
18
24
16
n
{\displaystyle n\,}
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
40
12
42
20
24
22
46
16
42
20
32
24
52
18
40
24
36
28
58
16
n
{\displaystyle n\,}
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
60
30
36
32
48
20
66
32
44
24
70
24
72
36
40
36
60
24
78
32
n
{\displaystyle n\,}
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
54
40
82
24
64
42
56
40
88
24
72
44
60
46
72
32
96
42
60
40
சார்பின் பண்புகள்
தொகு
பெருக்குச்சார்பு
தொகு
m
,
n
{\displaystyle m,n}
φ
(
m
)
×
φ
(
n
)
=
φ
(
m
×
n
)
.
{\displaystyle \varphi (m)\times \varphi (n)=\varphi (m\times n).}
எ.கா.:
φ
(
4
)
×
φ
(
15
)
=
2
×
8
=
16
=
φ
(
60
)
{\displaystyle \varphi (4)\times \varphi (15)=2\times 8=16=\varphi (60)}
பகா எண்ணின் அடுக்குகள்
தொகு
p
{\displaystyle p}
k
{\displaystyle k}
p
k
{\displaystyle p^{k}}
p
{\displaystyle p}
p
k
{\displaystyle p^{k}}
1.
p
,
2.
p
,
3.
p
,
.
.
.
,
p
k
−
1
.
p
{\displaystyle 1.p,2.p,3.p,...,p^{k-1}.p}
φ
(
p
k
)
=
p
k
−
p
k
−
1
=
p
k
−
1
(
p
−
1
)
=
p
k
(
1
−
1
p
)
{\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}
எ.கா.:
φ
(
81
)
=
φ
(
3
4
)
=
3
4
−
3
3
=
3
4
(
1
−
1
3
)
=
54
{\displaystyle \varphi (81)=\varphi (3^{4})=3^{4}-3^{3}=3^{4}\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=54}
சார்பிற்குப் பொது வாய்பாடு
தொகு
n
=
∏
p
|
n
p
k
p
{\displaystyle n=\prod _{p|n}p^{k_{p}}}
φ
(
n
)
=
∏
p
|
n
p
k
p
−
1
(
p
−
1
)
=
n
∏
p
|
n
(
1
−
1
p
)
{\displaystyle \varphi (n)=\prod _{p|n}p^{k_{p}-1}(p-1)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}
φ
(
60
)
=
φ
(
5.2
2
.3
)
=
60.
(
1
−
1
5
)
(
1
−
1
2
)
(
1
−
1
3
)
=
16
{\displaystyle \varphi (60)=\varphi (5.2^{2}.3)=60.\left(1-{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)=16}
