இரு மைய நாற்கரம்

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் இரு மைய நாற்கரம் (bicentric quadrilateral) என்பது உள்வட்டமும் சுற்றுவட்டமும் ஆகிய இரண்டும் கொண்ட ஒரு குவிவு நாற்கரம் ஆகும். இதனால் இந்நாற்கரம் தொடு நாற்கரமாகவும் வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும். இந்நாற்கரம் நாண்-தொடுகோடு நாற்கரம், (chord-tangent quadrilateral)^[1] உள்வரையப்பட்ட மற்றும் வெளிவரையப்பட்ட நாற்கரம் (inscribed and circumscribed quadrilateral) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

சிறப்பு வகைகள் தொகு

இரு மைய நாற்கரங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்:

சதுரங்கள்,
செங்கோணப் பட்டங்கள்,
இணைப்பக்கங்களின் கூட்டுச்சராசரியாக இணையில்லா பக்க நீளங்களைக் கொண்ட இருசமபக்க சரிவகங்கள்.

பண்புகள் தொகு

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் எதிர்ப் பக்கங்கள் பீட்டோ தேற்ற முடிவை நிறைவு செய்தும், எதிர்க் கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்களாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்நாற்கரம் ஓர் இரு மைய நாற்கரமாக அமையும்.

அதாவது பக்க நீளங்கள் -a, b, c, d கொண்ட ஒரு குவிவு நாற்கரம் ABCD எனில்:

\displaystyle a+c=b+d

(மற்றும்)

\displaystyle A+C=B+D=\pi .

ஆகிய இரண்டு முடிவுகளும் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே நாற்கரம் ABCD ஒரு இரு மைய நாற்கரமாக இருக்க முடியும்.

நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் AB, BC, CD, DA -க்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே W, X, Y, Z என்க. பின்வரும் மூன்று முடிவுகளும் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும்.^[2]

WY\bot \,XZ

(அதாவது தொடுபுள்ளி நாற்கரம் WXYZ ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்.)

{\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}

{\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}

WX, XY , YZ, ZW -ன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே E, F, G, H என்க. நாற்கரம் EFGH ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.^[2]

ஒரு தொடு நாற்கரத்தின் உள்வட்டமையம் I மற்றும் அந்நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் நீட்சிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் J ,K என்க. முக்கோணம் JIK ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த தொடு நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.^[2]

தொடு நாற்கரம் ABCD -ன் நியூட்டன் கோடு அந்நாற்கரத்தின் தொடுபுள்ளி நாற்கரம் -WXYZ -ன் நியூட்டன் கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும். ^[2]

பரப்பளவு தொகு

a, b, c, d -பக்க நீளங்கள் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் பரப்பளவு K^[3] ^[4] ^[5] ^[6] ^[7]:

\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.

இவ்வாய்ப்பாடு பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகும். இதனைத் தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் முக்கோணவியல் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து தருவிக்கலாம்.

ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் தொடு நாண்கள் k, l மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் p, q எனில், அதன் பரப்பு^[4]:

K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.

பரப்பு காணும் பிற வாய்ப்பாடுகள்:

$K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl$ ^[5]

இங்கு m மற்றும் n இரு மைய நாற்கரத்தின் இரு நடுக்கோடுகள்.

$K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).$ ^[4]

இதில் e, f, g, h -தொடுகோட்டு நீளங்கள்.

நாற்கரம் ABCD -ன் பரப்பளவு:

K=AI\cdot CI+BI\cdot DI

^[5]

I -உள்வட்ட மையம்.

$K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).$ ^[5]

உள்வட்ட ஆரம் r மற்றும் A, B நாற்கரத்தின் இரு அடுத்துள்ள கோணங்கள்.

சமனின்மைகள்:

$\displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.$ ^[8]

r மற்றும் R முறையே உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்கள்.

நாற்கரம் சதுரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமன் குறி (இருபுறமும்) பொருந்தும்.

$K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$ ^[9]

கோணங்களின் வாய்ப்பாடுகள் தொகு

இரு மைய நாற்கரம் ABCD -ன் பக்கங்கள் AB, BC, CD, DA ஆகியவற்றின் நீளங்கள் முறையே a, b, c, d எனில் நாற்கரத்தின் உச்சிக் கோணங்கள்^[5]:

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},

\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.

இரு மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் $\theta$ காண வாய்ப்பாடு^[6]:

\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.

உள்வட்ட ஆரமும் வெளிவட்ட ஆரமும் தொகு

ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் r காணும் வாய்ப்பாடுகள்:

$\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}.$ ^[3]:

இதில் a, b, c, d -நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள்.

$\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.$ ^[10]^{:p. 41}

இதில் e, f, g, h -நாற்கரத்தின் தொடுகோட்டு நீளங்கள்

இவ்விரண்டு வாய்ப்பாடுகளும் உள்வட்ட ஆரம் r -கொண்ட ஒரு தொடு நாற்கரமானது, வட்ட நாற்கரமாகவும் அமைவதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடுகளாகும்.

கீழே தரப்பட்டுள்ள வெளிவட்ட ஆரம் R காணும் வாய்ப்பாடு இந்திய கணிதவியலாளர் பரமேஷ்வரரின் வாய்ப்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்:^[3]

\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.

உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம் இரண்டிற்கும் இடையேயுள்ள சமனின்மை:

R\geq {\sqrt {2}}r

இச்சமனின்மை நாற்கரத்தின் பரப்பின் இரட்டைச் சமனின்மையில் இருந்து பெறப்பட்டுள்ளது.

உள்வட்டம், வெளிவட்டம் இரண்டும் பொதுமைய வட்டங்களாக இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக அமையும். அப்பொழுது நாற்கரம் ஒரு சதுரமாக இருக்கும்.

இரு மைய நாற்கரம் ABCD -ன் உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்களுக்கு இடையேயுள்ள மற்றொரு சமனின்மை:

4r^{2}\leq IA\cdot IC+IB\cdot ID\leq 2R^{2}

^[11]

இங்கு I -உள்வட்ட மையம்.

ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் p மற்றும் q எனில்:

\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1

^[7]

ஃபஸ்ஸின் தேற்றமும் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமையும் தொகு

ஃபஸ்ஸின் தேற்றம், ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம் மற்றும் உள்வட்ட, வெளிவட்ட மையங்கள் I , O இரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம் x ஆகிய மூன்றுக்கும் இடைப்பட்ட தொடர்பைத் தருகிறது^[1] ^[7] ^[12]:

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},

அல்லது

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}

.

1792 -ல் நிக்கோலஸ் ஃபஸ், இதனைக் கண்டறிந்தார்.

இதிலிருந்து x -ன் மதிப்பு:

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.

ஃபஸ் தேற்றத்தின் கூற்றின்படி:

ஒரு நாற்கரம் இரு மைய நாற்கரமாக இருந்தால் அதன் உள்வட்டமும் வெளிவட்டமும் மேலேயுள்ளவாறு தொடர்பு கொண்டிருக்கும்.

இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்:

ஒன்றுக்குள் மற்றொன்றாக அமையும் இரு வட்டங்களின் ஆரங்கள் R , r , அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் x -இவை மூன்றும் ஃபஸ்ஸின் தேற்றத்தில் உள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்தால் வெளியேயுள்ள வட்டத்துக்குள்ளாகவும், உள்ளேயுள்ள வட்டத்தைத் தொட்டுக்கொண்டும் ஒரு நாற்கரம் அமையும்.^[13]

கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை:

உள்வட்ட மையம், வெளிவட்ட மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் x, உள்வட்ட ஆரம் r , வெளிவட்ட ஆரம் R -மூன்றுக்கும் இடையேயான மற்றொரு தொடர்பு அமெரிக்க கணிதவியலாளர் லென்னார்ட் கார்லிட்ஸால் (1907–1999) தரப்பட்டுள்ளது^[14]:

\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu

இங்கு

\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}

a, b, c, d -இரு மைய நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள்.

கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, வடிவவியலில் முக்கோணத்திற்கான ஆய்லர் தேற்றத்தை இரு மைய நாற்கரத்திற்குப் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.

பிற பண்புகள் தொகு

இரு மைய நாற்கரங்களுக்கான பான்ஸிலெட்டின் தேற்றம்

ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் வெளிவட்ட மையம், உள்வட்ட மையம் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி மூன்றும் ஒரே நேர் கோட்டின் மீது அமையும் புள்ளிகளாகும்.^[15]

ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் p, q எனில்:

\displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}

இதில் a, b, c, d நாற்கரத்தின் பக்கங்கள். இது முர்ரே கிளாம்கின்னால் 1967 -ல் நிறுவப்பட்டது.^[8]

ஒன்றுக்குள் மற்றொன்றாக அமையும் இரு வட்டங்கள், ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் வெளிவட்டம் மற்றும் உள்வட்டங்களாக அமைந்தால், வெளிவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் இவ்விரு வட்டங்களையே வெளி மற்றும் உள் வட்டங்களாகக் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் உச்சியாக இருக்கும்.^[16] பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜான்-விக்டர் பான்ஸ்லெட் (1788–1867) இதனை நிரூபித்துள்ளார்.

$2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$ ^[9]

இதில் இரு மைய நாற்கரத்தின்

அரைச்சுற்றளவு -s

பரப்பு -K

r, R -உள்வட்ட ஆரம் மற்றும் வெளிவட்ட ஆரம்.

மேற்கோள்கள் தொகு

↑ ^1.0 ^1.1 Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions, New York: Dover, 1965, pp. 188–193.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Josefsson, Martin (2010), "Characterizations of Bicentric Quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 165–173.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral at MathWorld, [1], Accessed on 2011-08-13.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Josefsson, Martin (2010), "Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 Josefsson, Martin (2011), "The Area of a Bicentric Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 155–164.
↑ ^6.0 ^6.1 Durell, C. V. and Robson, A., Advanced Trigonometry, Dover, 2003, pp. 28, 30.
↑ ^7.0 ^7.1 ^7.2 Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [2]^{[தொடர்பிழந்த இணைப்பு]}, 1998, pp. 158-164.
↑ ^8.0 ^8.1 Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, When less is more: visualizing basic inequalities, Mathematical Association of America, 2009, pp. 64-66.
↑ ^9.0 ^9.1 Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, 2007, Problem 1203, p. 39, [3]
↑ M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) 33–52.
↑ Post at Art of Problem Solving, 2009, [4]^{[தொடர்பிழந்த இணைப்பு]}
↑ Salazar, Juan Carlos (2006), "Fuss's Theorem", Mathematical Gazette, 90 (July): 306–307.
↑ Byerly, W. E. (1909), "The In- and-Circumscribed Quadrilateral", The Annals of Mathematics, 10: 123–128.
↑ Calin, Ovidiu, Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach, [5], pp. 153–158.
↑ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [6], 2004.
↑ Weisstein, Eric W. "Poncelet Transverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, [7]

[Dorrie-1] 1.0 ^1.1 Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions, New York: Dover, 1965, pp. 188–193.

[Josefsson-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Josefsson, Martin (2010), "Characterizations of Bicentric Quadrilaterals" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 165–173.

[Weisstein-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral at MathWorld, [1], Accessed on 2011-08-13.

[Josefsson2-4] 4.0 ^4.1 ^4.2 Josefsson, Martin (2010), "Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130.

[Josefsson3-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 Josefsson, Martin (2011), "The Area of a Bicentric Quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 155–164.

[Durell-6] 6.0 ^6.1 Durell, C. V. and Robson, A., Advanced Trigonometry, Dover, 2003, pp. 28, 30.

[Yiu-7] 7.0 ^7.1 ^7.2 Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [2]^{[தொடர்பிழந்த இணைப்பு]}, 1998, pp. 158-164.

[Alsina-8] 8.0 ^8.1 Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, When less is more: visualizing basic inequalities, Mathematical Association of America, 2009, pp. 64-66.

[Crux-9] 9.0 ^9.1 Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, 2007, Problem 1203, p. 39, [3]

[10] M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, "A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one", Mathematical Communications, 12 (2007) 33–52.

[11] Post at Art of Problem Solving, 2009, [4]^{[தொடர்பிழந்த இணைப்பு]}

[12] Salazar, Juan Carlos (2006), "Fuss's Theorem", Mathematical Gazette, 90 (July): 306–307.

[13] Byerly, W. E. (1909), "The In- and-Circumscribed Quadrilateral", The Annals of Mathematics, 10: 123–128.

[14] Calin, Ovidiu, Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach, [5], pp. 153–158.

[15] Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [6], 2004.

[16] Weisstein, Eric W. "Poncelet Transverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, [7]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]