இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம்

கணிதத்தில், இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம் (difference of two squares) என்பது ஒரு எண்ணின் வர்க்கத்திலிருந்து மற்றொரு எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கழித்துப் பெறப்படுவதாகும். அடிப்படை இயற்கணிதத்தில்,

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ என்ற முற்றொருமையைக் கொண்டு இரு வர்க்க எண்ணிகளின் வித்தியாசங்களைக் காரணிப்படுத்தலாம்.

நிறுவல்

இந்த முர்றொருமையை நேரிடையாக நிறுவலாம்: இடப்பக்கமுள்ள காரணிகளைப் பங்கீட்டுப் பண்பைக் கொண்டு விரிக்க:

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}$

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}$

பரிமாற்றுப் பண்பின் படி:

$ba-ab=0$

எனவே:

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

கணிதத்தில் இம்முற்றொருமை பெரும் பயன்பாடு கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு மாறிகொண்ட கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையின் நிறுவலுக்கு இது பயன்படுகிறது.

இம்முற்றொருமையின் நிறுவல் எந்தவொரு பரிமாற்று வளையத்திலும் உண்மையாக அமையும். மறுதலையாக இந்த முற்றொருமை உண்மையாக அமையும் எந்தவொரு வளையமும் பரிமாற்று வளையமாக இருக்கும்.

இம்முற்றொருமை உண்மையாகும் R என்ற வளையத்தின் ஏதேனும் இரு உறுப்புகள் a b எனில்:

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ (இடப்புறத்தைப் பங்கீட்டுப் பண்பின்படி விரிக்க)

$a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$.

$ba-ab=0$

$ba=ab$

எனவே R ஒரு பரிமாற்று வளையம்.

வடிவவியல் நிறுவலுக்கான விளக்கப்படங்கள்

விளக்கப்படம் 1:

விளக்கப்படம் 2:

பயன்பாடுகள்

பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தலும் கோவைகளைச் சுருக்கலும்

பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் காரணிப்படுத்த இந்த முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

$x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)$

$x^{2}-y^{2}+x-y$ ($x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$ எனக் காரணிப்படுத்த)

$x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x-y)(x+y+1)$

கோவைகளைச் சுருக்கி எளியவடிவிற்கு மாற்றுவதற்கும் இம்முடிவு பயன்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு:

$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab$

சிக்கலெண்கள்: இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல்

இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக உள்ள கோவையைக் காரணிப்படுத்த சிக்கலெண்கள் கெழுக்களின் உதவியோடு இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசத்தின் முற்றொருமை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு:

$z^{2}+4$

$=z^{2}-i^{2}\cdot 4$ ($i^{2}=-1$)

$=z^{2}-(2i)^{2}$

$=(z+2i)(z-2i)$

எனவே $z^{2}+4$ இன் காரணிகள்: $(z+2i),$ $(z-2i)$.

இக்காரணிகள் ஒன்றுக்கொன்று இணைச் சிக்கலெண்களாக இருப்பதால் இரு சிக்கலெண்களின் பெருக்கற்பலனை மெய்யெண்ணாகப் பெறுவதற்கும், சிக்கலெண் பின்னங்களின் பகுதியை மெய்யெண்ணாக மாற்றவும் பயன்படுகிறது.

பின்னத்தின் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக்கல்

விகிதமுறா பின்னங்களின் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்ற இம்முற்றொருமை பயன்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு:

${\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}$ இன் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்றல்:

${\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}$

$={\dfrac {5}{{\sqrt {3}}+4}}\times {\dfrac {{\sqrt {3}}-4}{{\sqrt {3}}-4}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{({\sqrt {3}}+4)({\sqrt {3}}-4)}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{{\sqrt {3}}^{2}-4^{2}}}$

$={\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{3-16}}$

$=-{\dfrac {5({\sqrt {3}}-4)}{13}}.$

இந்த எடுத்துக்காட்டில் ${\sqrt {3}}+4$ என்ற விகிதமுறா பகுதியானது $13$ எனும் விகிதமுறு பகுதியாக மாற்றப்பட்டுள்ளது.

மனக் கணக்கு

எண்கணிதச் சுருக்கவழிக் கணக்கிடுதலில் இரு வர்க்க எண்களின் வித்தியாசங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இரு எண்களைப் பெருக்கும்போது அவ்விரு எண்களின் சராசரியெண் எளிதாக வர்க்கம் காணக்கூடியதாக இருப்பின் இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசத்தைப் பயன்படுத்தி அவ்விரு எண்களையும் எளிதாகப் பெருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

$27\times 33=(30-3)(30+3)=30^{2}-3^{2}=891$.

இரு தொடர் வர்க்க எண்களின் வித்தியாசம்

இரு தொடர் வர்க்க எண்களின் வித்தியாசமானது அவ்வர்க்க எண்களின் அடிமான எண்களான n ,n+1 ஆகிய இரு எண்களின் கூடுதலாக இருக்கும்.

${\begin{array}{lcl}(n+1)^{2}-n^{2}&=&((n+1)+n)((n+1)-n)\\&=&2n+1\end{array}}$

2n+1 ஒரு ஒற்றையெண். இதனால் இரு தொடர் வர்க்க எண்களின் கூடுதல் ஒரு ஒற்றையெண் என்பதை அறியலாம்.

எவையேனும் இரு முழுவர்க்க எண்களின் கூடுதல்:

${\begin{array}{lcl}(n+k)^{2}-n^{2}&=&((n+k)+n)((n+k)-n)\\&=&k(2n+k)\end{array}}$

இதிலிருந்து இரு இரட்டை வர்க்க எண்களின் வித்தியாசம் 4 இன் மடங்காகவும் இரு ஒற்றை வர்க்க எண்களின் கூடுதல் 8 இன் மடங்காகவும் அமையும் என்பதைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

${\begin{array}{lcl}(12)^{2}-10^{2}&=&(12+10)(12-10)\\&=&22(2)\\&=&44\end{array}}$

${\begin{array}{lcl}(11)^{2}-7^{2}&=&(11+7)(11-7)\\&=&18(4)\\&=&72\end{array}}$

இரு n ஆவது அடுக்கு எண்களின் வித்தியாசம்

இரு வர்க்க எண்கள் மற்றும் இரு கன எண்களின் வித்தியாசத்தை விளக்கும் பட நிறுவல்

a , b இரண்டும் R என்ற பரிமாற்று வளையத்தின் உறுப்புகள் எனில்:

$a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$.

இரு n ஆவது அடுக்கு எண்களின் வித்தியாசம்

இரு வர்க்க எண்கள் மற்றும் இரு கன எண்களின் வித்தியாசத்தை விளக்கும் பட நிறுவல்

a , b இரண்டும் R என்ற பரிமாற்று வளையத்தின் உறுப்புகள் எனில்:

$a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}\right)$.

வரலாறு

பழங்காலத்தில் பாபிலோனியர்கள் இரு வர்க்க எண்களின் வித்தியாசத்தை பெருக்கல் செயல்களில் பயன்படுத்தியுள்ளனர்.

எடுத்துக்காட்டாக:

93 x 87 = 90² - 3² = 8100 - 9 = 8091

64 x 56 = 60² - 4² = 3600 - 16 = 3584

மேற்கோள்கள்

• Stanton, James Stuart (2005). Encyclopedia of Mathematics. Infobase Publishing. p. 131. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-8160-5124-0.
• Tussy, Alan S.; Gustafson, Roy David (2011). Elementary Algebra (5th ed.). Cengage Learning. pp. 467–469. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-111-56766-8.

வெளியிணைப்புகள்

• difference of two squares at mathpages.com