உட்குலத்தின் குறியெண்

குலக் கோட்பாட்டில் G என்ற குலத்தின் உட்குலம் H இன் குறியெண் (Index) என்பது G இல் இருக்ககூடிய H இன் இணைக்கணங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். G இல் H இன் குறியெண்ணின் குறியீடு: |G : H| அல்லது [G : H] அல்லது (G:H). ஒரு உட்குலத்தின் குறியெண் முடிவுறு அல்லது முடிவுறா எண்ணாக அமையலாம்.

எடுத்துக்காட்டு: Z , முழு எண்களின் கணம் கூட்டல் செயலியைப் பொறுத்து ஒரு குலம். அதன் ஒரு உட்குலம் 2Z (இரட்டை முழு எண்களின் கணம்). Z இல் உட்குலம் 2Z க்கு இரண்டு இணைக்கணங்கள் உள்ளன. (ஒன்று இரட்டை முழு எண்கள் கணம். மற்றது ஒற்றை எண்களின் கணம்).

எனவே Z இல் 2Z இன் குறியீடு:

$|\mathbf {Z} :2\mathbf {Z} |=2$

பொதுவாக,

$|\mathbf {Z} :n\mathbf {Z} |=n$, இங்கு n ஏதேனும் ஓர் நேர் முழு எண்.

N என்பது குலம் G இன் இயல்நிலை உட்குலம் எனில், G இல் N இன் குறியெண் காரணி குலம் G / N இன் வரிசைக்குச் சமமாக இருக்கும்.

G ஒரு முடிவுறா குலம் எனில் அதன் ஒரு உட்குலம் H இன் குறியெண் ஒரு பூச்சியமில்லா முதல் எண் (cardinal number). மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டிலுள்ளபடி அம் முதல் எண் ஒரு முடிவுறு எண்ணாகவும் இருக்கலாம்.

G , H இரண்டும் முடிவுறு குலங்கள் எனில் G இல் H இன் குறியெண்:

$|G:H|={\frac {|G|}{|H|}}.$

இது லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் முடிவாகும். இக்குறியெண் கண்டிப்பாக ஒரு நேர் முழுஎண்.

பண்புகள்

உட்குலத்தின் குறியெண்ணின் சில பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.

• G இன் உட்குலம் H ; H இன் உட்குலம் K எனில்

$|G:K|=|G:H|\,|H:K|.$

• H ,K இரண்டும் G இன் உட்குலங்கள் எனில்:

$|G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,$

இங்கு HK = G எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|G : H ∩ K| முடிவுறு எண் எனில், HK = G என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.)

• இதற்கு சமானமாக:

H ,K இரண்டும் G இன் உட்குலங்கள் எனில்:

$|H:H\cap K|\leq |G:K|,$

இங்கும் HK = G எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|G : H ∩ K| முடிவுறு எண் எனில், HK = G என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.)

• If G , H இரண்டும் குலங்கள்; φ: G → H ஒரு காப்பமைவியம் எனில்:

$|G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• சமச்சீர் குலம் $S_{n},$ இல் மாறிசைக்குலம் $A_{n}$ இன் குறியெண் 2. எனவே $A_{n}$ ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் ஆகும்.
• செங்குத்துக் குலம் O(n) இல் அதன் உட்குலமான சிறப்பு செங்குத்து குலம் SO(n) இன் குறியெண் 2. எனவே அது ஒரு இயல்நிலை உட்குலம்.
• கட்டற்ற ஏபெல் குலம் Z ⊕ Z -க்கு குறியெண் 2 கொண்ட மூன்று உட்குலங்கள் உள்ளன:

$\{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}$.

• பொதுவாக, p ஒரு பகா எண் எனில், Zⁿ குலத்திற்கு, குறியெண் p கொண்ட (pⁿ − 1) / (p − 1) எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன.
• இதேபோல் கட்டற்ற குலம் F_n க்கு, குறியெண் p உடைய pⁿ − 1 எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன.
• ஒரு முடிவுறா இருமுகக் குலத்திற்கு குறியெண் 2 கொண்ட ஒரு சுழல் உட்குலம் இருக்கும், மேலும் அது இயல்நிலை உட்குலமாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Lam, T. Y. (2004), "On Subgroups of Prime Index", The American Mathematical Monthly, 111 (3): 256–258, JSTOR 4145135, alternative download {{citation}}: External link in |postscript= (help); Unknown parameter |month= ignored (|date= suggested) (help)CS1 maint: postscript (link)

வெளி இணைப்புகள்

• Normality of subgroups of prime index at PlanetMath.
• "Subgroup of least prime index is normal" at Groupprops, The Group Properties Wiki