எண் கோட்பாடு

கணிதத்தில் எண் கோட்பாடு (Number Theory) ஒரு முதன்மையான பழமையான பிரிவு. 19ம் நூற்றாண்டிலிருந்து தான் இது ஒரு தனிப் பிரிவாகக் கருதப்படத் தொடங்கியது. இன்று அது மற்ற எல்லாப் பிரிவுகளுடன் நன்கு கலந்து ஒரு பிரச்சினையை அணுகும்போது இது எண் கோட்பாட்டின் தனிப்பட்ட பிரச்சினை மட்டுமா என்று சொல்லமுடியாத அளவுக்கு வளர்ந்து ஆனாலும் ஒரு தனிப்பிரிவாக உள்ளது. இதனுடைய பல வளர்வுகளைப் பற்றி சிறு குறிப்புகள் கொடுக்க முயல்கிறது இக்கட்டுரை.

கிரேக்க காலம்

கிரேக்க காலத்திய யூக்ளீடின் 'பகா எண்கள் முடிவிலாதவை' என்ற தேற்றமும் இரட்டைப்படை செவ்விய எண்ணைப்பற்றிய (Perfect number) விபரமும் முதன்முதலில் எண் கோட்பாடு என்ற பிரிவில் சேர்க்கக்கூடிய முக்கிய கண்டுபிடிப்புகள். நான்காவது நூற்றாண்டில் எண் கோட்பாட்டில் சிறந்து விளங்கியவர் அலெக்ஸாண்டிரியாவைச் சேர்ந்த டயோஃபாண்டஸ். ஜூjko999888888888லியன் என்று பெயருடைய அரசன் (361-363) காலத்தியவர் டயோஃபாண்டஸ் என்றும் அவர் 84 ஆண்டுகள் வாழ்ந்தார் என்று மட்டும் தெரிகிறது. அவருடைய எண்கணிதம் (Arithmetic) என்ற நூல் 13 புத்தகங்களைக் கொண்டது என்று அவர் தானே அதற்கு எழுதிய முன்னுரையிலிருந்து தெரிகிறது. 1621 இல்தான் முதன் முதல் அவருடைய நூலில் கிடைத்துள்ள பாகங்கள் அச்சாகின. அவருடைய ஆய்வுகளில் மிகப் பிரசித்தமானது தேரவியலாச் சமன்பாடுகளின் வழிமுறைகள்.

இந்தியக்கணித முறைகள்

தேரவியலாச் சமன்பாடுகள் (Indeterminate Equations) முதன்முதலில் இந்தியக் கணிதத்தில், கிறிஸ்து சகாப்தத்தில் முதல் சில நூற்றாண்டுகளில் எழுதப்பட்ட பாக்ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதியில் காணப்படுகின்றன. இந்தியக் கணித நிபுணர்கள் பிரம்மகுப்தர் (7ம் நூற்றாண்டு), பாஸ்கரர் I (600 - 680), பாஸ்கரர் II (1114-1185) தேரவியலாச் சமன்பாடுகளைப் பற்றி பற்பல தீர்வு முறைகளைக் கண்டுபிடித்து எழுதியுள்ளனர். பாஸ்கரர் II வின் சக்ரவாள முறை இன்றும் பயன்பட்டுக் கொண்டிருக்கிறது.

ஃபெர்மா

காலக்கிரமத்தில் தனிப்பட்ட தேற்றங்கள், விபரங்கள், யூகங்கள் முதலியவை வந்துகொண்டே இருந்தன. 17வது நூற்றாண்டில் ஃபெர்மா (1601-1665) பல்வேறு கணிதப் பிரச்சினைகளில் பங்களித்தார். அக்காலத்தில் தற்காலம் போல் கணிதத்திலோ வேறு அறிவியலிலோ ஆய்வுப் பத்திரிகைகள் கிடையாது. அதனால் யார் எதைக் கண்டுபிடித்தாலும் தனக்குத் தெரிந்த சில அறிவியலாளர்களுடன் அவர்கள் வைத்துக் கொண்டிருக்கும் கடிதப் போக்குவரத்தில் தான் அவைகளை எழுத்தில் வடிப்பார்கள். அப்பொழுதும் ஒரு தேற்றத்தைக் கண்டுபிடித்தவர் அதனுடைய முழு நிறுவலையும் கொடுத்துவிடமாட்டார். இம்மாதிரி கடிதப் போக்குவரத்துகளில் ஃபெர்மாவுக்கு நிறைய பங்கு உண்டு. ஆனால் ஃபெர்மாவின் கடிதங்களில் பல Father மெர்சீன் (1588-1648) மூலமாகத்தான் வெளி உலகத்திற்குப் போயின. ஃபெர்மா வாழ்ந்த காலத்தில் அவரை மிஞ்சின கணித இயலர் ஒருவருமில்லையென்று தெரிகிறது.

ட்யோஃபாண்டஸின் 'எண்கணிதம்' என்ற மதிப்பு மிகுந்த நூலின் ஒரு பிரதி ஃபெர்மாவிடமிருந்தது. அதில்தான் அவர் ஒரு இடத்தில் பக்க ஓரத்தில் இதற்கு எனக்கு நிறுவல் தெரியும், ஆனால் பக்க ஓரத்தில் அதை எழுத இடமில்லை என்று எழுதிவைத்துவிட்டுப் போனார். வரலாற்றுச் சிறப்பு பெற்ற அந்தக் குறிப்புதான் பெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் என்ற பெயரில் நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு கணித உலகத்தையே ஆட்டிவைத்தது.

கார்ல் பிரெடெரிக் காஸ்

கணித இயலர் கார்ல் பிரெடெரிக் காஸ்(1777-1855) என்பவர் கி. பி. 1798 ஆம் ஆண்டில் தன்னுடைய ஆராய்ச்சிப் பட்டப் படிப்பிற்குரிய கட்டுரை ஒன்றை வெளியிட்டார். அக்கட்டுரையில் n படிப் பல்லுறுப்புக் கோவைக்குச் சரியாக n தீர்வுகள் உண்டு என்று நிரூபித்துக் காட்டினார். இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றமாக இவருடைய இந்த முடிபுகள் உள்ளன. மேலும், 1801 இல் 'எண்கணித உரைகள்' (Disquisitiones arithmeticae) எழுதினார். தற்கால எண் கோட்பாட்டின் தொடக்கம் இதுதான் என்று கூறும்படி இந்நூல் இதற்கு முன்னால் எண் கோட்பாட்டில் புழங்கிய தேற்றங்களும் மற்ற விபரங்களும் ஒரு சீரான கோட்பாடாக விளங்கும்படிச்செய்தது. மாடுலோ என்கணிதம் என்ற முறையை அறிமுகப்படுத்தி காஸ் எண்கோட்பாட்டின் சிதறிய பாகங்களையெல்லாம் ஒன்றுசேர்த்தார். இந்நூலில் ஏழு பிரிவுகள் இருந்தன. அவை

• மாடுலோ சமானம் என்ற உறவுகள்
• முதல் படித்தர சமானம்
• அடுக்குகளின் எச்சங்கள்
• இரண்டாம் படித்தர சமானம்
• இருபடிய அமைப்புகள்
• பயன்பாடுகள்
• வட்டத்தின் பிரிவினை

இவைகளில் பல தனிப்பட்ட பாகங்கள் ஏற்கனவே ஃபெர்மா, ஆய்லர் (1707-1783), லாக்ராஞ்சி(1736-1813), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியவர்களால் ஆக்கப்பட்டிருந்தாலும், காஸ் அவைகளெல்லாவற்றையும் தன்னுடைய பொதுத் தேற்றங்களிலிருந்து கொண்டுவந்தது இந்நூலின் சிறப்பு. எடுத்துக்காட்டாக, $4n+1$ என்ற உருவமுடைய எந்த பகா எண்ணும் இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை, அதுவும் ஒரே ஒரு வழியில்தான், என்ற ஃபெர்மாவின் சுவையான தீர்வு காஸின் இரும இருபடிய அமைப்புகளின் பொதுக்கோட்பாட்டிலிருந்து இயல்பான முறையில் உருவாகிவிடுகிறது.

எல்லாவற்றிலும் தலைதூக்கி நின்றது இருபடிய நேர் எதிர்மை என்ற கடினமான, ஆனால் சுவையான, தேற்றமும் அதன் பயன்பாடும்.

பகா எண்களின் எண்ணிக்கையைப் பற்றி

பகா எண் என்ற கருத்து தோன்றிய காலத்திலிருந்து பகா எண்கள் எவ்வளவு இருக்கும்? எப்படிப் பரவி இருக்கும்? என்ற கேள்விகள் முதன்மையான பிரச்சினைகளாயின.

கணிதத்தில் தீர்வு காணமுடியாமல் இருக்கும் பிரச்சினைகளில் முதல் இடம் வகிக்கும் பிரச்சினையான ரீமான் கருதுகோள் பிரச்சினை க்கும் பகாஎண்களின் எண்ணிக்கை பிரச்சினைக்கும் மிகச்சிடுக்கான வழியில் பிணைப்புள்ளது. 1859 இல் பெர்ன்ஹார்ட் ரீமான் (1826-1866) இனால் முன்மொழியப்பட்டு இன்று வரையில் தீர்வு இல்லாமல் இருந்து கொண்டிருக்கிற இக்கருதுகோள் பிரச்சினை ரீமான் ஜீட்டா-சார்பு என்ற ஒரு புகழ் வாய்ந்த சார்பின் சுழிகளைப் பற்றியது. இதன் வரையறை:

• $\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+...$

இங்கு $s$ என்ற மாறி ஒரு சிக்கலெண் மாறி. $s=\sigma +it$. $\sigma$ வும் $t$ யும் மெய்யெண்கள். $i$ என்பது கற்பனை அலகு.

இச்சார்பில் $s=-2,-4,-6,...$ ஆக இருந்தால் $\zeta (s)=0$ என்பது தெரிந்த விஷயம். இவைகளை வெற்றுச்சுழிகள் (trivial zeros) என்பர். வெற்றல்லாத சுழிகளைப் பற்றியது ரீமான் கருதுகோள்.

$s=\sigma +it$ என்ற சிக்கலெண் ரீமான் ஜீட்டா சார்பின் வெற்றல்லாத சுழியாயிருந்தால், $\sigma =1/2$. என்பது ரீமானின் யூகம். அதாவது, சிக்கலெண் தளத்தில், வெற்றல்லாத சுழிகளெல்லாம் $\sigma =1/2$ என்ற செங்குத்துக்கோட்டில் தான் இருக்கும்.

பகா எண்களின் பட்டியல்களைக் கவனமாக ஆய்ந்ததில் காஸ், லெஜாண்டர் (1752-1833)முதலியோர் பகா எண் தேற்றம் என்றதோர் தேற்றத்தை யூகமாக முன்மொழிந்தனர். இத்தேற்றம் பகா எண் தேற்றம் என்று பெயர் பெற்றது. அதிலுள்ள ஆங்கிலச்சொற்களின் (Prime Number Theorem) முதல் எழுத்துக்களை வைத்து PNT என்றும் புழக்கத்தில் குறிக்கப்பட்டது.

பகுவியலும் எண் கோட்பாடும்

டிரிச்லே (1805-1859)யின் தேற்றம்: a,d என்பவை இரண்டு பரஸ்பரப் பகாதனிகள் என்றால் a(mod d) க்கு சமானமாக முடிவிலாத எண்ணிக்கை கொண்ட பகாஎண்கள் இருக்கும். இத்தேற்றம் பகா எண்கள் முடிவிலாத அளவில் இருக்கும் என்ற யூக்ளீடின் தேற்றத்தை நுண்புலப்படுத்திய தேற்றம். இதை நிறுவுவதற்கு டிரிச்லே பகுவியல் முறைகளைக்கொண்டுவரவேண்டியிருந்தது. இதிலிருந்து எண் கோட்பாட்டில் தொடங்கிய முறைகளெல்லாம் சேர்ந்து பகுவிய எண் கோட்பாடு (Analytic Number Theory)என்ற பிரிவாக இயங்குகிறது.

முதல் $x$ நேர்ம முழு எண்களில் எவ்வளவு எண்கள் பகாதனிகளாக இருக்கும்? இந்த எண்ணிக்கையை $\pi (x$) என்று அழைப்பது வழக்கம். இதற்கு ஒரு தோராய மதிப்பைத் தருவதுதான் பகா எண் தேற்றம். இதை 1898 இல் தனித்தனியே நிறுவியவர்கள் ஹாடமார்டும் டெ லா வாலி புவாஸான் என்பவரும். இதன்படி

$\pi (x)$ இன் தோராய மதிப்பு $x/lnx$. அதாவது, $x$ முடிவிலியை நோக்கி ஒருங்கும்போது,

${\frac {\pi (x)}{\frac {x}{lnx}}}\rightarrow$

இந்த நிறுவலில் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 1948 இல் ஸெல்பர்க், பால் ஏர்டோசு இருவரும் சேர்ந்து இதற்கு ஒரு மாற்று நிறுவல் கொடுத்தார்கள். அதில் ரீமான் ஜீட்டா சார்பின் தேவையில்லை. அதனால் இதற்கு 'பகா எண் தேற்றத்தின் சாதாரண நிறுவல்' (Elementary Proof of PNT) என்று பெயர் வந்தது.

தொடர் மாறிகளையும் சார்புகளையும் பற்றிப் பேசும் கணிதப்பிரிவு பகுவியல் எனப்படும். இயல் எண்களின் பண்புகளைப் பற்றிப் பேசுவது எண் கோட்பாடு. இவ்விரண்டுக்கும் ஒரு இன்றியமையாத பிணைப்பு இத்தேற்றத்தின் மூலம் ஏற்படுகிறது. இது கணிதத்தில் ஒரு விந்தையே.

இயற்கணித எண் கோட்பாடு

விகிதமுறாஎண்களின் வரையறைகளையும் அதை ஒட்டி அவைகளின் கோட்பாடுகளையும் டெடிகிண்ட் (1831-1899) செய்தார். அவர்தான் சீர்மங்களின் கோட்பாட்டைத் தொடங்கிவைத்தவர். இதற்கு மூலப் பொருளே இயற்கணிதம் தான். முக்கியமாக ஒரு எண்ணை அதன் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையாகக் காட்டுவதில், (அ-து, $84=2\times 2\times 3\times 7$) உள்ள சிக்கல்களில் இவ்வாய்வு ஆரம்பித்து, ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றத்திற்காக வெகுவாக வளர்ந்து இன்று இயற்கணித எண் கோட்பாடு (Algebraic Number Theory) என்று எண் கோட்பாட்டின் ஒரு பிரிவாகவே பிரிந்து இயங்கி வருகிறது.

எர்னெஸ்ட் கம்மர் (1810 - 1893) கணிதத்தின் பல துணைப் பிரிவுகளில் பங்களித்திருக்கிறார். ஆனால் அவர் எண் கோட்பாட்டில் அளித்த பங்கு குறிப்பிடத்தக்க பங்கு. ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றத்தின் தீர்வுக்காக பாரிஸ் அகாடெமி 3000 பிரான்க் பெறுமானமுள்ள ஒரு தங்கப் பதக்கம் பரிசாக அளிக்கப்படும் என்று அறிவித்திருந்தது. யாருடைய பங்களிப்பும் பரிசளிப்பின் நிபந்தனைகளை நிறைவேற்றாதபடியால் அப்பரிசை யார் அதிக அளவிற்கு இத்தேற்றத்தின் தீர்விற்கு உதவியளிக்கும்படி பங்களித்திருக்கிறார்களோ அவருக்குக் கொடுப்பது என்று தீர்மானித்து, 1849 இல் அப்பரிசை கம்மருக்களித்தார்கள். ஃபெர்மாவின் கடைசித்தேற்றம் ஒரு குறிப்பிட்ட பகா எண் வகைகளுக்கு உண்மையாகும் என்பது கம்மரின் தீர்வு. இந்தப் பகா எண் வகையை ஒழுங்குப்பகா எண்கள் (Regular Primes) என்பர். கம்மர், க்ரானெக்கர் முதலியோர் இயற்கணித என் கோட்பாட்டிற்கு வித்திட்டவர்கள்.

எண் கோட்பாட்டின் தலைசிறந்த பெயர்களில் சில

டயோஃபாண்டஸ்

டயோஃபாண்டஸ் சிர்க்கா என்னும் நகரத்தில் வாழ்ந்தவராககக் கூறப்படுகிறது. டயோபாண்டஸ் ஒரு ஹெல்லனிஷ்டிக் கணித அறிஞர் என அழைக்கப்படுகிறார். இவர் வாழ்ந்த காலத்தை ஒருதரப்பினர் கி. பி. 200 இலிருந்து கி. பி. 284 என்றும், மற்றொரு தரப்பினர் கி. பி. 214 இலிருந்து கி. பி. 294 என்றும் எடுத்துரைக்கின்றனர். இவர் பதின்மூன்று புத்தகங்கள் அடங்கிய அரித்மேட்டிகா என்னும் நூலின் தொகுப்பாசிரியர் ஆவார். இந்நூல் கணிதத்தில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க நூலாகும். மேலும், இந்நூலில் தற்போது ஆறு நூல்கள் மட்டுமே எஞ்சிக் காணப்படுகின்றன. வடிவியல் முறைகள், பாபிலோனியக் கணிதவியல் ஆகியவற்றிலிருந்து இது முற்றிலும் மாறுபட்டுள்ளது. தோராய தீர்வுகளுக்குப் பதிலாக, இவர் எப்போதும் துல்லியமிக்க தீர்வுகளையே முன்னிலைப்படுத்தினார். எனினும், இந்த நூலானது கிரேக்க மரபுக் கணிதவியல் விளக்கங்களுடன் சிறிதளவே பொதுவாகக் காணப்பட்டது.

• பாஸ்கரர் II
• ஃபெர்மா
• ஆய்லர்
• லாக்ராஞ்சி
• கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்
• ரீமான்
• டிரிச்லெ
• ஜாகோபி
• கம்மர்
• ஜாக்விஸ் ஹாடமார்ட்
• சார்ல்ஸ் டி லா வாலி புவாஸின்
• இராமானுசன்
• ஜி.ஹெச். ஹார்டி
• ஸெர்
• மார்டெல்
• லிட்டில்வுட்
• லாண்டௌ
• ஸிகெல்
• ஸெல்பர்க்
• எஸ். டீ. சௌலா
• க்ளௌஸ் ரோத்
• எஸ்.எஸ்.பிள்ளை
• வைல்ஸ்
• பால் எர்டாஷ்
• ஆண்ட்ரூஸ்
• கிருஷ்ணஸ்வாமி அல்லாடி
• பாலசுப்ரமணியன்
• டெலீன்

துணை நூல்கள்

• G.H. Hardy & E.M. Wright. An Introduction to the theory of Numbers. Oxford. Clarenden Press. 1938

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "எண் கோட்பாடு", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• விக்கிமேற்கோளில் எண் கோட்பாடு சம்பந்தமான மேற்கோள்கள்:
• எண் கோட்பாடு இணையம்