காலமுறைச் சார்பு

கணிதத்தில் காலமுறைச் சார்பு அல்லது காலச்சுழற்சிச் சார்பு (periodic function) என்பது சீரான கால இடைவெளிகளில் (periods) தனது மதிப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் அடையும் ஒரு சார்பு ஆகும். 2π ரேடியன் அளவு இடைவெளிகளில் தனது மதிப்புகளை மீண்டும் மீண்டும் அடையும். முக்கோணவியல் சார்புகள் இதற்கு நல்ல எடுத்துக்காட்டுகளாகும். அலைவுகள், அலைகள் போன்ற அதிர்வெண் கொண்ட தோற்றப்பாடுகளில் காலமுறைச் சார்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இப் பண்பில்லாத சார்பு காலமுறையற்ற சார்பு அல்லது காலச்சுழற்சியற்ற சார்பு (aperiodic functions) எனப்படும்.

ஒரு காலமுறைச் சார்பின் வரைபடம். இச் சார்பின் காலமுறையின் அளவு $P.$

வரையறை

$f(x+P)=f(x),\quad \forall x\,\!$ என்பது உண்மையானால் சார்பு f , ஒரு காலமுறைச் சார்பு என வரையறுக்கப்படுகிறது. P என்பது இச் சார்பின் கால இடைவெளி அல்லது காலமுறைமை எனப்படும். (P பூச்சியமற்ற ஒரு மாறிலி)

ஒரு காலமுறைமைச் சார்பின் வரைபடம் இடப்பெயர்ச்சியைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

இரு முழு கால இடைவெளிகளில் சைன் சார்பின் வரைபடம்

f(x) = sin(x), g(x) = cos(x); இரண்டின் வரைபடங்கள்

• $\sin(x+2\pi )=\sin x\quad \forall x.\,\!$ எனவே, சைன் சார்பு, 2π அளவு கால இடைவெளி கொண்டதொரு காலமுறைமைச் சார்பு. படத்திலிருந்து இச் சார்பு 2π அளவு இடைவெளிகளில் மீண்டும் மீண்டும் அதே மதிப்புகளை அடைவதைக் காணலாம்.

இதேபோல கோசைன் சார்பும் 2π அளவு கால இடைவெளி கொண்ட காலமுறைமைச் சார்பு.

• $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$;

$f(x)=fractional\quad part\quad of\quad x$ என்ற சார்பு ஒரு காலமுறைச் சார்பு; இதன் கால அளவை 1.

f( 0.5 ) = f( 1.5 ) = f( 2.5 ) = ... = 0.5.

இச் சார்பின் வரைபடம் இரம்பப்பல் அலை வடிவம் கொண்டிருக்கும்.

• அன்றாட வாழ்வில் நாம் காண்கின்ற கடிகாரத்தின் முட்கள், ஒவ்வொரு நாளும் வானில் தோன்றும் நிலவின் பிறைகள் காலமுறைப் பாங்கினைக் கொண்டுள்ளன. இவற்றின் கால இடைவெளி நேரமாகவும், நாட்களாகவும் உள்ளன.

பண்புகள்

• f என்பது காலமுறையளவு P கொண்ட ஒரு காலமுறைச் சார்பு எனில், f இன் ஆட்களத்திலுள்ள அனைத்து x மற்றும் அனைத்து முழு எண்கள் n க்கும்:

f(x + nP) = f(x) என்பது உண்மையாகும்.

• f(x) என்பது காலமுறையளவு P கொண்ட ஒரு காலமுறைச் சார்பு எனில், சார்பு f(ax+b), (a, b மாறிலிகள்) இம் ஒரு காலமுறைச் சார்பாக இருக்கும். இதன் காலஇடைவெளி P/|a|.

எடுத்துக்காட்டாக,

f(x) = sinx 2π காலஇடைவெளியில் ஒரு காலமுறைச் சார்பு. மேலும், sin(5x) 2π/5 காலஇடைவெளியில் ஒரு காலமுறைச் சார்பாக அமைவதைக் காணலாம்.

இரட்டை-காலமுறைச் சார்பு

சிக்கலெண்களை ஆட்களமாகக் கொண்ட காலமுறைச் சார்புக்கு இரு கால இடைவெளிகள் இருக்கலாம். நீள்வட்டச் சார்பு, இத்தகைய சார்பாகும். இரு காலஇடைவெளிகளும் ஒன்றுக்கொன்று மெய்யெண் மடங்குகளாக இல்லாதவையாக ("Incommensurate" ) இருக்கும்.

சிக்கலெண்களில்

சிக்கலெண்களில் அமைந்த ஒரு காலமுறைச் சார்பு:

$e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx$

இதன் காலஇடைவெளி L :

$L=2\pi /k$

எதிர்-காலமுறைச் சார்பு

$f(x+P)=-f(x)$ என்றவாறுள்ள சார்பு f எதிர் காலமுறைச் சார்பு (antiperiodic function) எனப்படுகிறது. P-காலஇடைவெளி கொண்ட எதிர் காலமுறைச் சார்பு, 2P-காலஇடைவெளி கொண்ட காலமுறைச் சார்பாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Ivar Ekeland (1990). "One". Convexity methods in Hamiltonian mechanics. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. 19. Berlin: Springer-Verlag. பக். x+247. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:3-540-50613-6. 

வெளி இணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Periodic function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Periodic functions at MathWorld