குவிவுச் சார்பு

கணிதத்தில் ஒரு இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு $f(x),$ குவிவுச் சார்பு (Convex function) எனில் அச்சார்பின் வரைபடத்தின் மேலமையும் ஏதேனும் இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு முழுவதுமாக அவ்வரைபடத்தின் மேற்பகுதியில் அமையும். அதாவது ஒரு சார்பின் வெளிவரைபடம் குவிவுக் கணமாக இருக்குமானால் அச்சார்பு ஒரு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சார்பு $f(x)=x^{2},$ அடுக்குக்குறிச் சார்பு $f(x)=e^{x}$ (x ஏதேனுமொரு மெய்யெண்) இரண்டும் குவிவுச் சார்புகள்.

ஒரு இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட குவிவுச் சார்பு.

சார்பின் வரைபடத்திற்கு (பச்சை) மேலமையும் பகுதி ஒரு குவிவுக் கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு (கருப்பு) ஒரு குவிவுச் சார்பாகும்.

வரையறை

ஒரு திசையன் வெளியிலமைந்த குவிவுக் கணம் X இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு f : X → R கீழ்க்காணுமாறு இருப்பின் குவிவுச் சார்பு என வரையறுக்கப்படும்.

$x_{1},$ $x_{2}$ என்பவை X இன் இரு புள்ளிகள்; $t\in [0,1]$ எனில்:

$f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).$

திட்டமாக குவிவுச் சார்பு

$f(tx_{1}+(1-t)x_{2})<tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2})\,$ $0<t<1\,$, $x_{1}\not =x_{2}$ எனில் சார்பு, திட்டமாகக் குவிவுச் சார்பு (strictly convex) என வரையறுக்கப்படும்.

. −f திட்டமாகக் குவிவுச் சார்பாக இருப்பின் f திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பு ஆக இருக்கும்.

பண்புகள்

ஒரு மெய்யெண் இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒருமாறியிலமைந்த சார்பு f .

$R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}$

($R(x_{1},x_{2})$-மேலுள்ள படத்தில் பர்ப்பிள் வண்ணக் கோட்டின் சாய்வு மற்றும் $R(x_{1},x_{2})$, $x_{1},x_{2}$ சமச்சீரானது.)

$x_{1}$ இல், ($x_{2}$ நிலையாகக் கொள்ள) அல்லது $x_{2}$ இல், ($x_{1}$ நிலையாகக் கொள்ள) $R(x_{1},x_{2})$ ஓரியல்பாகக் குறையாச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, f ஒரு குவிவுச் சார்பாகும்.

நடுப்புள்ளிக் குவிவு

C இல் உள்ள அனைத்து $x_{1}$ மற்றும் $x_{2}$ களுக்கும்,

$f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}$

எனில் C இடைவெளியில், f நடுப்புள்ளிக் குவிவு எனப்படும் நடுப்புள்ளிக் குவிவாக இருக்கும் ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு குவிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.

ஒரு இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வகையிடத்தக்கச் சார்பின் வகைக்கெழு அந்த இடைவெளியில் ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும். ஒரு சார்பு வகையிடத்தக்கதாகவும், குவிவுச் சார்பாகவும் இருந்தால் அச்சார்பு தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கது.

ஒருமாறியிலமைந்த தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கச் சார்புக்கு, அதன் வளைவரையின் மீதுள்ள அனைத்துப் புள்ளிகளிடத்தும் வரையப்படும் தொடுகோடுகள் அனைத்திற்கும் மேற்புறமாக அச்சார்பின் வரைபடம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு அந்த இடைவெளியில் குவிவுச் சார்பாகும்:

$f(x)\geq f(y)+f'(y)[x-y]$

(இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மற்றும் y க்கும் இது பொருந்த வேண்டும்.) குறிப்பாக, f '(c) = 0, எனில் c ஆனது f(x) இன் மீச்சிறு சிறுமப்புள்ளியாக இருக்கும்.

ஒருமாறியிலமைந்த இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு எதிர் மதிப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு இடைவெளியில் அச்சார்பு, குவிவுச் சார்பாகும். தரப்பட்ட சார்பு குவிவுச் சார்பா இல்லையா என்று சோதித்துப் பார்ப்பதற்கு இந்த முடிவு உதவும்.

இடைவெளியிலுள்ள எல்லாப் புள்ளிகளிலும் இரண்டாம் வகைக்கெழு நேர்மதிப்பாக இருப்பின் அவ்விடைவெளியில் சார்பு திட்டமாகக் குவிவுச் சார்பாகும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டாக, f(x) = x⁴ சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு:

f "(x) = 12 x², x = 0 எனில் இரண்டாம் வகைக்கெழு பூச்சியமாகிறது. இருப்பினும், f ஒரு திட்டமாகக் குவிவுச் சார்பு.

ஒரு குவிவுச் சார்பின் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம், அதன் மீச்சிறு சிறுமமாக இருக்கும். திட்டமாகக் குவிவுச் சார்புக்கு அதிகபட்சமாக ஒரு மீச்சிறு சிறுமம் மட்டுமே இருக்கும்.

f ஒரு குவிவுச் சார்பு; f இன் ஆட்களத்தின் மதிப்புகளை ஏற்கும் சமவாய்ப்பு மாறி X எனில்:

$\operatorname {E} (f(X))\geq f(\operatorname {E} (X)).$ (இங்கு செயலி $E$ கணிதவியல் எதிர்பார்த்தலைக் குறிக்கிறது.)

குவிவுச் சார்பு நுண்கணிதம்

• சார்புகள் $f,$ $g$ இரண்டும் குவிவுச் சார்புகளெனில் $m(x)=\max\{f(x),g(x)\}$, $h(x)=f(x)+g(x).$ ஆகிய இரு சார்புகளும் குவிவுச் சார்புகளாக இருக்கும்.
• சார்புகள் $f,$ $g$ இரண்டும் குவிவுச் சார்புகளாகவும், $g$ குறையாச் சார்பாகவும் இருப்பின் சார்பு $h(x)=g(f(x))$ குவிவுச் சார்பாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, $f(x)$ ஒரு குவிவுச் சார்பு எனில் $e^{f(x)}$ சார்பும் குவிவுச் சார்பாகும். இங்கு $e^{x}$ குவிவுச் சார்பாகவும் ஓரியல்பாகக் கூடும் சார்பாகவும் உள்ளது.

• $f$ குழிவுச் சார்பு; $g$ குவிவு மற்றும் கூடாச் சார்பு எனில் சார்பு $h(x)=g(f(x))$ குவிவுச் சார்பு.
• $x$ இல் $f(x,y)$ குவிவுச் சார்பு மற்றும் $x$ இன் சில மதிப்புகளுக்கு $g(x)>-\infty$ எனில்

$g(x)=\sup _{y\in C}f(x,y)$ சார்பும் $x$ இல் குவிவுச் சார்பாக அமையும்.

• ஒரு குவிவுச் சார்பின் கூட்டல் நேர்மாறுச் சார்பு, குழிவுச் சார்பாகும்.

சீரான குவிவுச் சார்புகள்

f இன் ஆட்களத்திலுள்ள அனைத்து x,y மற்றும் t ∈ [0, 1] கீழ்க்காணும் முடிவு உண்மையாக இருந்தால் சார்பு f ஒரு சீரான குவிவுச் சார்பாக இருக்கும்.

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)-t(1-t)\phi (\|x-y\|),\,$

இங்கு f இன் மட்டு $\phi$ ஆனது ஒரு கூடும் சார்பு மற்றும் அதன் மதிப்பு   x =0 இல் பூச்சியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• எல்லாவிடத்திலும் $f(x)=x^{2}$ சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு $f''(x)=2>0$ என்பதால் f ஒரு குவிவுச் சார்பு.
• $f(x)=x^{4}$ சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு $f''(x)=12x^{2}\geq 0$ என்பதால் f ஒரு குவிவுச் சார்பு.
•  x = 0 புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதாக இல்லாவிடினும் தனி மதிப்புச் சார்பு $f(x)=|x|$ ஒரு குவிவுச் சார்பு. ஆனால் இது திட்டமாகக் குவிவுச் சார்பு அல்ல.
• $f(x)=|x|^{p}$ (1 ≤ p) ஒரு குவிவுச் சார்பு.
• அடுக்குக்குறிச் சார்பு $f(x)=e^{x}$ குவிவுச் சார்பாகும். மேலும் $f''(x)=e^{x}>0$ என்பதால் அது திட்டமாகக் குவிவுச் சார்பாகவும் அமையும்.
• [0,1] இடைவெளியை ஆட்களமாகக் கொண்டு வரையறுக்கப்படும் சார்பு f(0) = f(1) = 1, f(x) = 0, 0 < x < 1 குவிவுச் சார்பு. திறந்த இடைவெளி (0, 1) இல் இச்சார்பு தொடர்ச்சியானது; ஆனால் 0 மற்றும்  1 இல் தொடர்ச்சியானது அல்ல.
• x³ சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு 6x; எனவே x ≥ 0 எனில் இச்சார்பு குவிவுச் சார்பாகவும்  x ≤ 0 எனில் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.
• ஓரியல்பாகக் கூடும் சார்பாக ஆனால் குவிவுச் சார்பல்லாத சார்புகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்: $f(x)={\sqrt {x}}$ மற்றும் g(x) = log(x).
• குவிவுச் சார்பாக ஆனால் ஓரியல்பாகக் கூடும் சார்பாக இல்லாத சார்புகளுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்: $h(x)=x^{2}$ மற்றும் $k(x)=-x$.
• f(x) = 1/x சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழு $f\,''(x)={\frac {2}{x^{3}}}$ x > 0 விற்கு நேர்மதிப்பாக இருப்பதால் (0, +∞) இடைவெளியில் f(x) குவிவுச் சார்பாகவும் மாறாக (-∞,0) இடைவெளியில் குழிவுச் சார்பாகவும் உள்ளது.
• f(x) = 1/x², f(0) = +∞, சார்பு (0, +∞) மற்றும் (-∞,0) இடைவெளிகளில் குவிவுச் சார்பு; ஆனால், x = 0 இல் அதன் வரையறை காரணமாக (-∞, +∞) இடைவெளியில் குவிவுச் சார்பாக இருக்காது.

மேற்கோள்கள்

• Dimitri Bertsekas (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific. 
• Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.
• Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press. https://archive.org/details/distributionsfou0000dono. 
• Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.
• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd. 
• Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing. 
• David Luenberger (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley. 
• David Luenberger (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons. 
• R. Tyrrell Rockafellar (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press. https://archive.org/details/convexanalysis0000rock. 
• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press. 
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing  Co., Inc. பக். xx+367. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:981-238-067-1. 

வெளி இணைப்புகள்

• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization (PDF)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Convex function (of a real variable)", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Convex function (of a complex variable)", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104