தன்னடுக்கு அணி

இயற்கணிதத்தில் தன்னடுக்கு அணி (idempotent matrix) என்பது தனக்குத்தானே பெருக்கப்படும்போது அதே அணியே விடையாகக் கிடைக்கும் அணியாகும்.^[1]^[2] MM = M என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, M ஒரு தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும். MM வரையறுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டுமானால் M ஒரு சதுர அணியாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு தொகு

$2\times 2$ தன்னடுக்கு அணி:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}

$3\times 3$ தன்னடுக்கு அணி:

{\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}

2 × 2 மெய்யெண்கள் அணி தொகு

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ என்பது ஒரு தன்னடுக்கு அணி எனில்:

$a=a^{2}+bc,$
$b=ab+bd,$ இதனை $b(1-a-d)=0$ என எழுதக் கிடைக்கும் முடிவு $b=0$ அல்லது $d=1-a,$
$c=ca+cd,$ இதனை $c(1-a-d)=0$ என எழுதக் கிடைக்கும் முடிவு $c=0$ அல்லது $d=1-a,$
$d=bc+d^{2}.$

எனவே ஒரு 2 × 2 அணியானது மூலைவிட்ட அணியாக அல்லது அதன் சுவட்டின் மதிப்பு 1 ஆக இருக்கவேண்டியது அவ்வணி ஒருதன்னடுக்கு அணியாக இருப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடாகும். எனவே ஒரு 2 × 2 மூலைவிட்ட அணியானது தன்னடுக்கு அணியாக இருந்தால் $a$ , $d$ இரண்டின் மதிப்புகளும் 1 அல்லது 0 ஆக இருக்கும்.

b = c ஆக இருக்கும்போது ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ அணியானது தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கவேண்டுமானால் $a^{2}+b^{2}=a$ என இருக்கவேண்டும். இதிலிருந்து a ஆனது பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.

a^{2}-a+b^{2}=0,

or

(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}

இச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். இவ்வட்டத்தின் மையம் (1/2, 0); ஆரம் 1/2.

M={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

ஒரு தன்னடுக்கு அணி.

எனினும் b = c என்பது தன்னடுக்கு அணிக்கான தேவையான கட்டுப்பாடு அல்ல; $a^{2}+bc=a$ எனக் கொண்ட எந்தவொரு ${\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}$ அணியும் தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும்.

பண்புகள் தொகு

முற்றொருமை அணி தவிர வேறெந்தவொரு தன்னடுக்கு அணியும் வழுவுள்ள அணியாகும்.
முற்றொருமை அணியிலிருந்து ஒரு தன்னடுக்கு அணியைக் கழித்துப் பெறப்படும் அணியும் தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும்.

[I − M][I − M] = I − M − M + M² = I − M − M + M = I − M.

அனைத்து இயல் எண்கள் n களுக்கும் $A^{n}=A$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, $A$ ஒரு தன்னடுக்கு அணியாகும்.
தன்னடுக்கு அணியின் ஐகென் மதிப்புகள் 0 அல்லது 1 ஆக இருக்கும்.^[3] தன்னடுக்கு அணியின் சுவட்டின் (முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கூடுதல்) அந்த அணியின் தரத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். மேலும் இதனால் சுவடின் மதிப்பு முழு எண்ணாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள் தொகு

↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. p. 80. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0070108137.
↑ Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0130661899.
↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge University Press. p. p. 148. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0521386322.

[1] Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. p. 80. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0070108137.

[Greene-2] Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0130661899.

[3] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge University Press. p. p. 148. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0521386322.

[1]

[2]

[3]