தாஞ்சன்களின் விதி

முக்கோணவியலில் தாஞ்சன்களின் விதி (law of tangents) அல்லது டான்களின் விதி என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்க நீளங்களுக்கும், அம்முக்கோணத்தின் கோணங்களின் தாஞ்சன்களுக்கும் (tangents) இடையே உள்ள ஓர் உண்மைக்கூற்று.

படம். 1 - ஒரு முக்கோணம். அதன் பக்கங்களும், கோணங்களும் பெயரிடப்பட்டுள்ளன.

படம் 1 இல் a, b, c என்பன முக்கோணத்தின் மூன்று பக்க நீளங்கள். α, β, γ என்னும் மூன்றும், அப்பக்கங்களுக்கு நேர் எதிராக, முறையே, உள்ள கோணங்கள். அதாவது a என்னும் பக்கத்துக்கு நேர் எதிரான கோணம் α, அதே போல b, c என்னும் பக்கங்களுக்கு நேர் எதிராக கோணங்கள் β, γ ஆகும்.

முக்கோணவியலில் தாஞ்சன்களின் விதி அல்லது டான்களின் விதி என்ன சொல்கின்றது என்றால்,

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

மேற்குறிப்பிட்ட தான்களின் விதி, மற்ற சைன்களின் விதி, கோசைன்களின் விதி போல் அவ்வளவாகப் பரவலாக அறியப்படாவிட்டாலும், அவைபோலவே பயனுடைய விதி. ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் ஒரு கோணமும் அறிந்திருந்தாலோ அல்லது இரு கோணங்களும் ஒரு பக்கமுமோ அறிந்திருந்தாலோ, சில உண்மைகளை நிறுவப் பயனுடையதாக இருக்கும் ஒரு இவ்விதி.

நிறுவல்

டான்களின் விதியை நிறுவ, முதலில் சைன்களின் விதியை வைத்துத் தொடங்குவோம். சைன்களின் விதிப்படி,

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}$

இப்பொழுது மேலுள்ள ஈடுகோளை (சமன்பாட்டை) ஏதோ ஒரு q என்பதற்கு ஈடு (சமம்) என்று கொள்வோம்.

$q={\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}$

மேற்கொண்டவற்றைக் கொண்டு, b யையும், a யையும் தீர்வு செய்யலாம்:

$a=q\sin {\alpha }\,$ மற்றும் $b=q\sin {\beta }\,$

a இக்கும் ,b இக்குமான முதல் சமன்பாட்டில் இவற்றை பெயர்த்து இட்டால் (substitute), நாம் கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {q\sin \alpha -q\sin \beta }{q\sin \alpha +q\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}$

பொதுவாக உள்ள q' -களைக் களைந்து (தொகுத்துப் பின் வகுத்து), பின்னர் பெருக்குத்தொகையைக் கூட்டலாக மாற்றும் விதி]]ப்படி,

$\sin(x)+\sin(y)=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;$

$\scriptstyle {x\,=\,\alpha }$ என்றும், $\scriptstyle {y\,=\,\pm \beta }$ என்றும் கொண்டால்,

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}$

என்னும் விதியைப் பெறுகின்றோம்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• சைன்களின் விதி
• கோசைன்களின் விதி