திசையன் வெளியின் அடுக்களம்

கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம் B நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும் இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் அடுக்களம் (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும். இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி V இன் பரிமாணம் (Dimension) என்று பெயர். இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு.

இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.

நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

1. $V=V_{3}$. B = {i, j, k} என்று கொள்வோம். இங்கு i = (1,0,0), j = (0,1,0) மற்றும் k = (0,0,1)

அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் B நிறைவேற்றுவதால், B ஒரு அடுக்களமாகும். $V_{3}$ க்கு இந்த அடுக்களத்தை இயற்கை அடுக்களம் என்று சொல்வர்.

2. V = ${\mathcal {P}}_{n}$: மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத, எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் $B=\{1,x,x^{2},...x^{n}\}$ இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள நேரியல் சேர்வு. மற்றும் B ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். ஃ B ஒரு அடுக்களமாகிறது.

dim ${\mathcal {P}}_{n}=n+1$.

அடிப்படை உண்மைகள்

V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.

• சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.

• ஒரு அளாவும் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து,

$[\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}]=V$ ஆகவும், $\{w_{1},w_{2},...,w_{m}\}$ நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால், $m\leq n.$

• Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.

• n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும்,

(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்;

(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.

(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.

• $B=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\},$ மற்றும் $[B]=V$ ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:

(a): $B$ நேரியல் சார்பற்றது.

(b):$V$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $v$ க்கும், $v=\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+...+\alpha _{n}v_{n}$ என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).

ஆயத்திசையன்

இதனால் B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை இப்படிக்கொடுக்கலாம்:

$B\subset V;[B]=V;$ மற்றும், $V$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $v$ க்கும் $B$ இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும் $v=\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+...+\alpha _{n}v_{n}$ என்ற கோவை தனிப்பட்டது .

ஒரு அடுக்களம் $B$ இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, $B=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$, என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு, $V$ இலுள்ள ஒவ்வொரு $v$ க்கும், $B$ இன் உறுப்புகளின் மூலம் $v=\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+...+\alpha _{n}v_{n}$ என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை $(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$ ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு $v$ இன் ஆயத்திசையன் (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும். ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.

எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி $V_{3}$ ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்.

B = $\{(1,1,0),(1,0,1)(0,1,1),\}$ எனக்கொள்க. $B$ ஒரு வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.

$v$ = (2,3,-1) எனக்கொண்டால், $v$ = 3(1,1,0) -1(1,0,1) +0(0,1,1)

அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன் ${\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}}$

$v=(2,3,-1)$ என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் ${\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}}$. ஏனென்றால்

(2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).

அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை

கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி V இல், $A=\{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}$ ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால்,$k\leqslant n$ ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும்.

$k=n$ என்ற பட்சத்தில், $A$ யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.

$k<n$ என்ற பட்சத்தில், $[A]\neq V$. அதனால், $V$ இல் $[A]$க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை $v_{k+1}$ என்று அழைப்போம். இப்பொழுது $\{v_{1},v_{2},...,v_{k},v_{k+1}\}$ ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். $k+1=n$ என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான். $k+1\neq n$ என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.

நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை

$U,V$ ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம். $U$ வின் ஒரு அடுக்களமாக $B=\{u_{1},u_{2},...,u_{n}\}$ ஐக்கொள்க. இப்பொழுது $T(u_{i})$ ஐ ($i=1,2,...,n)V$ இல் எந்தத் திசையன்களாகவும் கொண்டு $T$ யை ஒரு நேரியல் கோப்பாக்க முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,

$T(\alpha _{1}u_{1}+\alpha _{2}u_{2}+...+\alpha _{n}u_{n})=\alpha _{1}T(u_{1})+\alpha _{2}T(u_{2})+....+\alpha _{n}T(u_{n})$

எ.கா.: $V_{2}\rightarrow V_{4}$

$B=\{(1,1),(1,-1)\}.$ இது $V_{2}$ வில் ஒரு அடுக்களம்.

$T(1,1)$ = ? $\in V_{4}$

$T(1,-1)$ = ? $\in V_{4}.$

(*) $T(1,1)=(1,1,0,0)$ என்றும்

(**) $T(1,-1)=(0,0,0,0)$ என்றும் கொள்வோமாக.

$V$ இல் $(x,y)$ ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது $(x,y)$ = ?(1,1) + ?(1,-1).

எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம்.

$(x,y)={\frac {x+y}{2}}(1,1)+{\frac {x-y}{2}}(1,-1)$

ஃ $T(x,y))={\frac {x+y}{2}}T(1,1)+{\frac {x-y}{2}}T(1,-1)$

= ${\frac {x+y}{2}}(1,1,0,0)+{\frac {x-y}{2}}(0,0,0,0)$

= $\left({\frac {x+y}{2}},{\frac {x+y}{2}},0,0\right).$

ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு $T:(x,y)\mapsto \left({\frac {x+y}{2}},{\frac {x+y}{2}},0,0\right).$

(*), (**) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• திசையன் வெளியின் பரிமாணம்

துணை நூல்கள்

• Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. ISBN 0-387-96205-0.
• V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. ISBN 81-85095-15-9