பகு எண்
எண் கோட்பாட்டில் பகு எண் (இலங்கை வழக்கு: சேர்த்தி எண், composite number) என்பது அதே எண்ணையும் ஒன்றையும் தவிர குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர் வகுஎண்ணாவது (காரணி) கொண்ட நேர் முழு எண்ணாகும். அதாவது, ஒரு பகு எண்ணை ஒன்றைவிடப் பெரிய பகா எண்ணல்லாத ஒரு நேர் முழுஎண் எனக் கூறலாம்.[1][2]
n > 0 ஒரு முழுஎண்; 1 மற்றும் n க்கிடையே அமையும் இரு முழுஎண்கள் a, b (1 < a, b < n). மேலும் n = a × b எனில் n ஒரு பகுஎண்ணாகும்.
1 விடப் பெரிய முழுஎண்கள் ஒவ்வொன்றும், பகா எண்ணாகவோ அல்லது பகு எண்ணாகவோ இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு:
- 14 = 2 x 7 என்பதால் 14 ஒரு பகு எண்
- 32 = 4 x 8 = 2 x 16 என்பதால் 32 ஒரு பகு எண்.
- 2, 3 ஆகிய இரு நேர் முழுஎண்களுக்கு அவற்றையும் 1ம் தவிர வேறு காரணிகள் (வகுஎண்) இல்லை. எனவே அவை பகுஎண்கள் அல்ல, அவை பகா எண்களாகும்.
முதல் 105 பகு எண்கள் (OEIS-இல் வரிசை A002808)
- 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140.
ஒவ்வொரு பகுஎண்ணையும் இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட பகாஎண்களின் ((வெவ்வேறானவையாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை) பெருக்கமாக எழுதலாம்;[2] அவ்வாறு எழுதப்படும் விதம் தனித்ததாக (unique) இருக்கும். அப் பெருக்கத்தில் பகாஎண்கள் எழுதப்படும் வரிசையில் மாற்றங்கள் காணப்பட்டாலும் பகா எண்களில் மாற்றமே இருக்காது. இக் கருத்துதான் எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் ஆகும்.[3][4][5][6]
1 பகு எண்ணும் அல்ல; பகா எண்ணும் அல்ல; அது வளையத்தின் அலகு உறுப்பாகும் (வளையத்தில் இரண்டாவது ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து நேர்மாறுடைய உறுப்பு).[7][8]
வகைகள் தொகு
- ஒரு பகு எண்ணை அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டு வகைப்படுத்தலாம்:
- அரைப்பகாத்தனி
இரு பகாக் காரணிகளைக் கொண்ட பகுஎண், அரைப்பகாத்தனி என அழைக்கப்படுகிறது. இவ்வகையான பகுஎண்ணில் அந்த இரு பகாக் காரணிகளும் வெவ்வேறானவையாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.
- ஸ்ஃபீனிக் எண்
மூன்று வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளைக் கொண்ட பகுஎண், ஸ்ஃபீனிக் எண் என அழைக்கப்படுகிறது
- பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை இரட்டை/ஒற்றை
மோபியஸ் சார்பைப் பயன்படுத்தி, ஒரு பகுஎண்ணின் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை இரட்டை எண்ணா அல்லது ஒற்றை எண்ணா என்ற வேறுபாடு அறியப்படுகிறது:
பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையை இரட்டையெண்ணாகக் கொண்ட பகுஎண் n :
இதில் μ என்பது மோபியஸ் சார்பு (Möbius function); x என்பது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பகுஎண்ணின் பகாக் காரணிகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையை ஒற்றையெண்ணாகக் கொண்ட பகுஎண் n க்கு:
மேலும்:
- .
n என்ற பகுஎண் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட எண்ணிக்கையில் மீளும் பகாக் காரணிகளைக் கொண்டிருந்தால்:
- .[9]
- ஆற்றல்மிகு எண்
அனைத்துக் பகாக்காரணிகளையும் மீளும்காரணிகளாகக் கொண்ட எண் ஆற்றல்மிகு எண் என்றழைக்கப்படும்.
- வர்க்கக் காரணியற்ற முழுஎண்
எந்தவொரு பகாக் காரணியுமே மீளவில்லையெனில் அந்த எண் வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண் என்றழைக்கப்படும். (எண் ஒன்று மற்றும் அனைத்து பகாஎண்களும் இவ்வாறானவை’ ஆகும்.)
- வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையைக் கொண்டும் ஒரு பகுஎண்ணை வகைப்படுத்தலாம்.
n என்ற பகுஎண்ணின் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையானது x < n என்றமையும் எந்தவொரு எண் x இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையைவிட அதிகமெனில் n ஒரு உயர் பகுஎண் என்றழைக்கப்படும். அதாவது உயர் பகு எண் என்பது தன்னைவிடச் சிறியதான எந்தவொரு நேர் முழுஎண்ணையும்விட அதிகமான வகுஎண்களைக் கொண்ட நேர் முழுஎண் ஆகும்
குறிப்புகள் தொகு
- ↑ (Pettofrezzo 1970, ப. 23–24)
- ↑ 2.0 2.1 (Long 1972, ப. 16)
- ↑ (Fraleigh 1976, ப. 270)
- ↑ (Long 1972, ப. 44)
- ↑ (McCoy 1968, ப. 85)
- ↑ (Pettofrezzo 1970, ப. 53)
- ↑ (Fraleigh 1976, ப. 198,266)
- ↑ (Herstein 1964, ப. 106)
- ↑ (Long 1972, ப. 159)
மேற்கோள்கள் தொகு
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
- Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
- McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68-15225
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766