மீச்சிறு பொது மடங்கு

கணிதத்தில் எண் கோட்பாட்டில் மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீபொம) (இலங்கை வழக்கு: பொது மடங்குகளுள் சிறியது - பொ.ம.சி; ஆங்கிலத்தில் least common multiple, அல்லது lowest common multiple (LCM) அல்லது smallest common multiple) என்பது பொதுவாக a, b ஆகிய இரண்டு எண்களின் பெருக்குத்தொகையாக அமைந்த மிகச்சிறிய நேர்ம முழு எண் ஆகும். இவ்வெண் பெருக்குத்தொகை ஆகையால் a, b ஆகிய இரண்டு எண்களும் தனித்தனியாக இதனை மீதியின்றி வகுக்கும். a ஓ b ஓ சுழியாக (0) இருந்தால், மீபொம (a, b)= 0. மீபொம = LCM.

இவ்வரையறை இரண்டு எண்களுக்கும் கூடுதலான எண்ணிகையில் உள்ள எண்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்திக் கூறுவதுண்டு. முழு எண்கள் a₁, ..., a_n ஆகியவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு என்பது a₁, ..., a_n ஆகிய ஒவ்வொன்றும் மீதியின்றி வகுக்ககூடிய மிகச்சிறிய எண்.

எடுத்துக்காட்டு தொகு

எண் 4 என்பதன் மடங்குகள்:

4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48, ...

(அடுத்த மடங்கைப் பெற ஒவ்வொன்றுக்கும் 4 என்னும் எண்ணைக் கூட்டுக).

எண் 6 என்பதன் மடங்குகள்:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ...

(அடுத்த மடங்கைப் பெற ஒவ்வொன்றுக்கும் 6 என்னும் எண்ணைக் கூட்டுக).

மேலே உள்ள 4 இன் மடங்குகளுக்கும் 6 இன் மடங்குகளுக்கும் பொதுவான மடங்குகள்:

12, 24, 36, 48, ....

ஆனால் இவற்றுள், 4, 6 உக்கான மிகச்சிறிய பொது மடங்கு (மீச்சிறு பொது மடங்கு) (least common multiple) : 12.

பயன்பாடுகள் தொகு

பின்னங்களைக் கூட்டும்பொழுதும் கழிக்கும்பொழுதும் ஒப்பிடும் பொழுதும் , அப் பின்னங்களுக்குப் பொதுவான ஒரு கீழ் எண்களைக் கண்டுபிடிக்க மீச்சிறு பொது மடங்கு (lowest common denominator) தேவைப்படுகின்றது தேவைப்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக,

{2 \over 21}+{1 \over 6}={4 \over 42}+{7 \over 42}={11 \over 42},

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டில் பின்னங்களின் கீழெண்ணாக 42 பயன்படுத்தப்பட்டது, ஏனெனில் அதுவே 21 மற்றும் 6 ஆகியவற்றின் மிகச்சிறிய பொது மடங்கு (மீச்சிறு பொது மடங்கு).

மீச்சிறு பொது மடங்கைக் கணக்கிடுதல் தொகு

மீப்பெரு பொது வகுத்தியால் குறைத்தல் தொகு

கீழ்க்காணும் வாய்பாடு, மீச்சிறு பொது மடங்கைக் காண மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் கணக்கிடுவதாக மாற்றுக்கின்றது:

\operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}.

மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் கண்டுபிடிக்க விரைந்து இயங்கும் படித்தீர்வு முறைகள் உண்டு. இவை யூளிட்டின் படித்தீர்வு முறையைப் போல எண்ணின் காரணிகளை கண்டுபிடிக்கத்தேவை இல்லை.மேற்குறிப்பிட்ட எடுத்துக்குக் காட்டுக்கு மீண்டும் செல்ல,

\operatorname {lcm} (21,6)={21\cdot 6 \over \operatorname {gcd} (21,6)}={21\cdot 6 \over 3}=21\cdot {\frac {6}{3}}=21\cdot 2=42.

மீப்பெரு பொது வகுத்தி மீபொவ (a, b) [gcd(a, b] என்பது a மற்றும் b ஆஅகிய இரண்டின் வகுத்தி (வகுக்கும் எண்)) ஆகையால், மீச்சிறு பொது மடங்கைக் காண பெருக்குவதற்கு முன்னர் பொது வகுத்தியால் முதலில் வகுப்பது திறன் மிக்கதாகும்:

\operatorname {lcm} (a,b)=\left({|a| \over \operatorname {gcd} (a,b)}\right)\cdot |b|=\left({|b| \over \operatorname {gcd} (a,b)}\right)\cdot |a|.

இம்முறை உள்ளிடும் எண்ணின் மதிப்பை வகுப்பதிலும் பெருக்குவதிலும் குறைப்பதால் இடை நிலைகளில் (intermediate steps) எழும் எண்களை நினைவில் கொள்ளவோ சேமிக்கவோ எளிதாகும். இவ்வாறு செய்வதால் முன்னர் காட்டிய எடுத்துக்காட்டைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

\operatorname {lcm} (21,6)={21 \over \operatorname {gcd} (21,6)}\cdot 6={21 \over 3}\cdot 6=7\cdot 6=42.

இவற்றையும் பார்க்கவும் தொகு

மீப்பெரு பொது வகுத்தி