மீள்வரு தொடர்பு

கணிதத்தில் மீள்வரு தொடர்பு (recurrence relation) என்பது, ஒரு தொடர்முறையின் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சில தொடக்க உறுப்புகள் தரப்பட்ட நிலையில், அத்தொடர்முறையின் பிற உறுப்புகள் அனைத்தையும் தருகின்ற மீள்வரு வரையறையாகவுள்ள சமன்பாடு ஆகும். இதில், முந்தைய உறுப்புகளின் சார்பாக ஒரு தொடர்முறையின் உறுப்புகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பிபனாச்சி எண்கள்

முதன்மைக் கட்டுரை: பிபனாச்சி எண்கள்

பிபனாச்சி எண்கள்: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,....$

ஃபிபனாச்சி எண்களின் மீள்வரு தொடர்பு:

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$

தரப்படும் தொடக்க எண்கள்:

$F_{0}=0$

$F_{1}=1$

மீள்வரு தொடர்பைப் பயன்படுத்த:

$F_{2}=F_{1}+F_{0}=1+0=1$

$F_{3}=F_{2}+F_{1}=1+1=2$

$F_{4}=F_{3}+F_{2}=2+1=3....$

என பிபனாச்சி எண்கள் ஒவ்வொன்றும் அதன் முந்தைய இரு எண்களின் சார்பாக அமைவதைக் காணலாம்

ஈருறுப்புக் கெழுக்கள்

ஈறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்கள் ஈருறுப்புக் கெழுக்கள் எனப்படும். அவை வழக்கமாக ${\tbinom {n}{k}}$எனக் குறிப்படுகின்றன. n பொருட்களிலிருந்து k பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுக்கக் கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கையை ${\tbinom {n}{k}}$, தருகிறது.

ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் மீள்வரு தொடர்பு:

${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}},$

தரப்படுள்ள தொடக்க மதிப்பு: ${\tbinom {n}{0}}={\tbinom {n}{n}}=1$.

பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் ஒரு வரிசையிலுள்ள ஒரு உறுப்பானது முந்தைய வரிசையின் முன்னிரு உறுப்புகளைக் கூட்டிப் பெறப்படுகிறது

இதனைப் பயன்படுத்தி $k=1,2,...$ எனப் பதிலிட்டு ஈருறுப்புக் கெழுக்களைக் காண, அவை பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.$ வாய்பாட்டின் மூலமும் ஈருறுப்புக் கெழுக்களைக் காணலாம்.

உசாத்துணை

• Batchelder, Paul M. (1967). An introduction to linear difference equations. Dover Publications. https://archive.org/details/introductiontoli0000paul. 
• Miller, Kenneth S. (1968). Linear difference equations. W. A. Benjamin. 
• Fillmore, Jay P.; Marx, Morris L. (1968). "Linear recursive sequences". SIAM Rev. 10 (3): pp. 324-353. 
• Brousseau, Alfred (1971). Linear Recursion and Fibonacci Sequences. Fibonacci Association. http://www.fq.math.ca/linear.html. 
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 1990. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-262-03293-7. Chapter 4: Recurrences, pp. 62–90.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2 ). Addison-Welsey. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-201-55802-5. 
• Enders, Walter (2010). Applied Econometric Times Series (3 ) இம் மூலத்தில் இருந்து 2014-11-10 அன்று. பரணிடப்பட்டது.. https://web.archive.org/web/20141110221941/http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000338.html. பார்த்த நாள்: 2015-08-06. 
• Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-23234-6. https://archive.org/details/differenceequati0000cull.  chapter 7.
• Jacques, Ian (2006). Mathematics for Economics and Business (Fifth ). Prentice Hall. பக். 551–568. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-273-70195-9. https://archive.org/details/mathematicsforec0000jacq_b5a4.  Chapter 9.1: Difference Equations.
• Minh, Tang; Van To, Tan (2006). "Using generating functions to solve linear inhomogeneous recurrence equations" (PDF). Proc. Int. Conf. Simulation, Modelling and Optimization, SMO'06. pp. 399–404. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2015-08-06. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameter: |5= (help)
• Polyanin, Andrei D. "Difference and Functional Equations: Exact Solutions". at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
• Polyanin, Andrei D. "Difference and Functional Equations: Methods". at EqWorld - The World of Mathematical Equations.

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Recurrence relation", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Weisstein, Eric W., "Recurrence Equation", MathWorld.
• Mathews, John H. "Homogeneous Difference Equations".
• Introductory Discrete Mathematics
• "OEIS Index Rec". OEIS index to a few thousand examples of linear recurrences, sorted by order (number of terms) and signature (vector of values of the constant coefficients)