ஈருறுப்புப் பரவல்

நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, புள்ளியியல் இரண்டிலும் n, p பண்பளவைகளைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவல் (binomial distribution) ஒரு தனிநிலை நிகழ்தகவுப் பரவலாகும். n - ஆனது சார்பற்ற, "வெற்றி" அல்லது "தோல்வி" என்ற இரு விளைவுகளை மட்டுமே கொண்ட, சார்பற்ற, தொடர்ச்சியான பெர்னௌலி முயற்சிகளின் எண்ணிக்கையையும், p ஆனது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவையும் குறிக்கும் (தோல்வியின் நிகழ்தகவு ($q=1-p$)). n = 1, எனில் ஈருறுப்புப் பரவல் பெர்னௌலியின் பரவல் எனப்படும். புள்ளியியல் பொருளுண்மையின் ஈருறுப்புச் சோதனைக்கு ஈருறுப்புப் பரவலே அடிப்படையானதாகும் இந்தப் பரவல் கணிதவியலாளர் ஜேக்கப் பெர்னெளலியால் கண்டறியப்பட்டது. பெர்னௌலி p = r/(r + s) (p - வெற்றியின் நிகழ்தகவு; r , s இரண்டும் நேர்ம முழுஎண்கள்) எனவும் பிலைசு பாஸ்கல் p = 1/2 எனவும் எடுத்துக்கொண்டனர்.

Probability mass function
Cumulative distribution function Colors match the image above
குறியீடு  :	B(n, p)
பண்பளவைகள்:	n ∈ N0 — முயற்சிகளின் எண்ணிக்கை p ∈ [0,1] — வெற்றியின் நிகழ்தவு
தாங்கி:	k ∈ { 0, …, n }
pmf:	$\textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$
cdf:	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
சராசரி:	np
இடைநிலையளவு:	⌊np⌋ or ⌈np⌉
முகடு:	⌊(n + 1)p⌋ or ⌊(n + 1)p⌋ − 1
variance:	np(1 − p)
கோணல்:	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
தட்டையளவு:	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
சிதறம்(என்ட்ரோப்பி):	${\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
mgf:	$(1-p+pe^{t})^{n}\!$
cf:	$(1-p+pe^{it})^{n}\!$

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ஒரு சீரான பகடையை பத்து முறை உருட்டிவிட்டு, "ஆறு" எத்தனை முறை விழுகிறது என்பதை எண்ணிக்கொள்க. சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், n = 10 மற்றும்p = 1/6 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

• ஒரு நாணயத்தை மூன்று முறை சுண்டிவிட்டு எத்தனை முறை "தலை" விழுகிறது என எண்ணுதல். சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், n = 3 மற்றும் p = 1/2 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

வரையறைகள்

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

சமவாய்ப்பு மாறி K இன் n மற்றும் p பண்பளவைகளைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவலைப் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:

K ~ B(n , p)

ஈருறுப்புப் பரவலில், n சார்பற்ற முயற்சிகளில் சரியாக k வெற்றிகள் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு பின்வரும் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பால் (நிகழ்தகவுப் பொருண்மச் சார்பு) தரப்படுகிறது:

$\Pr(K=k)=f(k;n,p)$

$\Pr(K=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},$ k = 0, 1, 2, ..., n

இதிலுள்ள

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ என்பது ஈருறுப்புக் குணகமாதலால் இப்பரவல் ஈருறுப்புப் பரவலெனப்படுகிறது.

ஈருறுப்பு பரவல் நிகழ்தகவின் குறிப்பு அட்டவணைகளை தயாரிக்கும்போது, பொதுவாக அட்டவணை n /2 மதிப்புகள் வரை நிரப்பப்படுகிறது. ஏனெனில் k > n /2 ஆக இருக்கும்போது, நிகழ்தகவுகள் முன்னவற்றின் நிரப்பிகளாக இருக்கும்.

$f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!$

எடுத்துக்காட்டு

சுண்டப்பட்ட நாணயம் சமச்சீரானதாக இல்லமால், தலை விழுவதற்கான (வெற்றி) நிகழ்தகவு 0.3 எனில், 6 நாணயச் சுண்டல்களில் சரியாக 4 தலைகள் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு:

$f(4,6,0.3)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.$

குவிப் பரவல் சார்பு

குவிப் பரவல் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}.$

$\lfloor x\rfloor$ என்பது x க்கு சமமான அல்லது குறைவான மிகப் பெரிய முழு எண்.

பண்புகள்

சராசரியும் பரவற்படியும்

X ~ B(n, p); அதாவது சமவாய்ப்பு மாறி X ஆனது, n முயற்சிகளையும் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு p ஆகவும் கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது எனில்,

பரவலின் சாராசரியின் மதிப்பு (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு)

${\bar {X}}=\operatorname {E} [X]=np.$

ஒவ்வொரு சமவாய்ப்பு மாறியும் p ஐ எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாகக் கொண்ட, n முற்றொத்த பெர்னௌலியின் சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையாக சமவாய்ப்பு மாறி X இருக்கும். அதாவது, $X_{1},\ldots ,X_{n}$ என்பவை முற்றொத்த, சாராத பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகள்; அவை ஒவ்வொன்றின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பும் p எனில்:

$X=X_{1}+\cdots +X_{n}$

$\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.$

பரவற்படி

$\operatorname {Var} (X)=npq=np(1-p).$

விலக்கப் பெருக்குத் தொகை

சமவாய்ப்பு மாறியின் விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள் இருவகைப்படும்.

• ஆதியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்
• சராசரியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகை அல்லது மைய விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்

ஆதியைப் பொறுத்த முதல் இரு விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்:

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=np,\\\operatorname {E} [X^{2}]&=np(1-p)+n^{2}p^{2},\end{aligned}}$

பொதுவான வரையறை:

$\operatorname {E} [X^{c}]=\sum _{k=0}^{c}\left\{{c \atop k}\right\}n^{\underline {k}}p^{k},$

இதில், $\textstyle \left\{{c \atop k}\right\}$ இசுடர்லிங் உட்கண எண்கள்; $n^{\underline {k}}=n(n-1)\cdots (n-k+1)$ என்பது $n$ இன்$k$ ஆவது வீழும் தொடர்பெருக்கம்.

மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:

வரையறை

$\mu _{c}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\right]$

முதல் 6 மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:

${\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=np(1-p),\\\mu _{3}&=np(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\\\mu _{5}&=np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\\\mu _{6}&=np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^{2}p^{2}(1-p)^{2}).\end{aligned}}$

முகடு

B(n, p) என்ற ஈருறுப்புப் பரவலின் முகடு $\lfloor (n+1)p\rfloor$ ஆகும். இதில் $\lfloor \cdot \rfloor$ ஆனது மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு.

• (n + 1)p ஒரு முழுஎண்ணாகவும், p இன் மதிப்பு, 0 அல்லது 1 ஆகவும் இல்லாமல் இருந்தால் ஈருறுப்புப் பரவலுக்கு (n + 1)p, (n + 1)p − 1 என்ற இரு முகடுகள் இருக்கும்.
• p இன் மதிப்பு 0 அல்லது 1 ஆக இருந்தால் முகடு முறையே 0 அல்லது n ஆக இருக்கும்.

இவற்றைப் பின்னுள்ளவாறு ஒன்றுபடுத்தி எழுதலாம்:

${\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}$

நிறுவல்

$f(k)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}.$ எனக் கொள்க.

வகை 1

$p=0$ அல்லது $p=1$:

• $p=0$ ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே $f(0)$ க்கு சுழியமற்ற மதிப்பாக $f(0)=1$ ஆக இருக்கும்.
• $p=1$ எனில் $f(n)=1$ மற்றும் $f(k)=0$ ($k\neq n$) எனக் கண்டுபிடிக்கலாம்.

மேற்கண்ட இரு முடிவுகளிலுமிருந்து

$p=0$ எனில் முகடு = 0; $p=1$ எனில் முகடு = 1 எனப் பெறப்படுகிறது.

வகை 2

$0<p<1$

$0<p<1$ எனில்:

${\frac {f(k+1)}{f(k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}$. இதிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:

${\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)<f(k)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)=f(k)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow f(k+1)>f(k)\end{aligned}}$

எனவே $(n+1)p-1$ ஒரு முழுஎண்ணாக இருந்தால், $(n+1)p-1,$ $(n+1)p$ இரண்டும் முகடுகள். $(n+1)p-1\notin \mathbb {Z}$ (முழுஎண் இல்லையெனில்) $\lfloor (n+1)p-1\rfloor +1=\lfloor (n+1)p\rfloor$ மட்டுமே முகடு.

இடைநிலையளவு

பொதுவாக ஈருறுப்புப் பரவலின் இடைநிலையளவைக் காண்பதற்கான தனித்த வாய்பாடு எதுமில்லை. எனினும் இடைநிலையளவு குறித்து பல முடிவுகள் எட்டப்பட்டுள்ளன.

• np ஒரு முழு எண் எனில் சராசரி, இடைநிலையளவு, முகடு ஆகிய மூன்றும் np க்குச் சமமாக இருக்கும்.
• இடைநிலையளவு m எனில், ⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉.
• இடைநிலையளவு m, சராசரியிலிருந்து அதிகத் தொலைவில் இருக்க முடியாது:

|m − np| ≤ min{ ln 2, max{p, 1 − p} }.

• |m − np| ≤ min{p, 1 − p} (p = 1/2 மற்றும் n ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில், இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது; m = முழுமை(np)
• p ஒரு விகிதமுறு எண் (p = 1/2 மற்றும் n ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில் இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது.
• p = 1/2 மற்றும் n ஒற்றையெண் எனில், 1/2(n − 1) ≤ m ≤ 1/2(n + 1) என்ற இடைவெளியிலமைந்த எந்தவொரு எண் m உம் இடைநிலையளவாக இருக்கும்.
• p = 1/2 மற்றும் n இரட்டையெண் எனில், m = n/2 என்பது முகட்டின் தனித்த மதிப்பாகும்.

தொடர்புள்ள பிற பரவல்கள்

ஈருறுப்புப் பரவல்களின் கூட்டுத்தொகை

X ~ B(n, p), Y ~ B(m, p) இரண்டும் சார்பற்ற ஆனால் சம நிகழ்தகவு p உடைய இரு ஈருறுப்புப் பரவல்கள் எனில், X + Y என்ற சமவாய்ப்பு மாறியும் அதே நிகழ்தகவுடன் ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும்: Z=X+Y ~ B(n+m, p):

${\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}$

ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும் X ~ B(n, p) என்ற சமவாய்ப்பு மாறியை, n பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலாகக் கொள்ளமுடியும். X ~ B(n, p), Y ~ B(m, p) என்ற சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதல் n + m பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும். அதாவது Z=X+Y ~ B(n+m, p).

X , Y இரண்டும் ஒரே நிகழ்தகவைக் (p) கொண்டிருக்காவிட்டால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகைப் பரவலின் பரவற்படியானது, $B(n+m,{\bar {p}}).\,$ இன் பரவற்படியைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.

பெர்னௌலி பரவல்

பெர்னௌலி பரவல் என்பது n = 1 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவலின் சிறப்புத் தன்மை ஆகும். குறியீடாக, X ~ B(1, p) என எழுதப்படுகிறது

பாய்ஸான் பரவல்

ஈருறுப்பு பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் பெறப்படுகிறது. np பெருக்குத்தொகை நிலையாக இருந்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை n முடிவிலியை நோக்கியும் ஒவ்வொரு முயற்சியின் வெற்றியின் நிகழ்தகவு p இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கியும் செல்லும்போது ஈருறுப்புப் பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் அமைகிறது.

புற இணைப்புகள்

• கௌண்ட்ஸ் கண்ட்ரோல் சார்ட்ஸ்', e-ஹேண்ட்புக் ஆஃப் ஸ்டேடிஸ்டிகல் மெதட்ஸ், <http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc331.htm> [accessed 25 October 2006]
• பைனோமியல் ப்ராபபிலிடீஸ் ஸிம்ப்பிள் எக்ஸ்ப்ளனேஷன் பரணிடப்பட்டது 2008-02-18 at the வந்தவழி இயந்திரம்
• SOCR பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் அப்லெட்
• CAUSEweb.org பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் உட்பட புள்ளியியல் கற்பிக்க பல கருத்துக்கள்
• க்ரிஸ் பௌசர் எழுதிய "பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன்" வொல்ஃராம் டெமான்ஸ்ட்ரேஷன்ஸ் ப்ராஜெக்ட், 2007.
• கட்-தெ-நாட்லிருந்து பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் ப்ராபர்டீஸ் அண்ட் ஜாவா ஸிமுலேஷன்
• ஸ்டேடிஸ்டிக்ஸ் டுடோரியல்: பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் பரணிடப்பட்டது 2010-03-26 at the வந்தவழி இயந்திரம்