குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்
குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம் (direct product of groups) என்பது குலக்கோட்பாட்டில் குலங்களுக்கிடையே நிகழும் ஒரு செயலி. G , H எனும் இரு குலங்களுக்கிடையே இச்செயலியைப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு புதுக் குலமாக (G × H) இருக்கும். கணங்களில் வரையறுக்கபட்டுள்ள கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் என்ற செயலிக்கு ஒத்தசெயலியாக இது குலங்களில் உள்ளது.
ஏபெல் குலங்களில் இப்பெருக்கம் சிலசமயங்களில் நேர்க் கூட்டல் (G ⊕ H) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது . ஏபெல் குலங்களை வகைப்படுத்துவதில் நேர்க் கூட்டல் முக்கியப் பங்குவகிக்கிறது. முடிவுறு ஏபெல் குலங்களின் வரையறைப்படி, ஒவ்வொரு முடிவுறு ஏபெல் குலத்தையும் இரு சுழற் குலங்களின் நேர் கூட்டலாகக் காணமுடியும்.
வரையறை
தொகுதரப்பட்ட இரு குலங்கள் G, H எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் G × H பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
- (g1, h1) · (g2, h2) = (g1·g2, h1·h2) என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து G × H இல் குலங்களின் பண்புகள் நிறைவு செய்யப்படுவதால் அது ஒரு குலமாகிறது:
- சேர்ப்பு விதி
G × H இல் வரையறுக்கப்பட்ட இந்த ஈருறுப்புச் செயலி சேர்ப்புத்தன்மை உடையது
- முற்றொருமை உறுப்பு
இக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு (1G, 1H). இதில் 1G, G இன் முற்றொருமை உறுப்பு; 1H, H இன் முற்றொருமை உறுப்பு.
- நேர்மாறு உறுப்புகள்
G × H இன் உறுப்பு (g, h) இன் நேர்மாறு உறுப்பு:
(g−1, h−1),
இங்கு G இல் g இன் நேர்மாறு உறுப்பு g−1; H இல் h இன் நேர்மாறு உறுப்பு h−1
எடுத்துக்காட்டுகள்
தொகு- மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (R,+) எனில் நேர்ப்பெருக்கம்:
இதன் உறுப்புகள் (x, y) திசையன்கள். திசையன் கூட்டலைப் பொறுத்து இது ஒரு குலமாகும்.
திசையன் கூட்டல்:
- G, H என்பவை இரு உறுப்புகள் கொண்ட சுழற் குலங்கள்:
|
|
- இவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் G × H, கிளைன் நான்குறுப்பு குலத்துடன் சமஅமைவியமுடையது:
G × H * (1, 1) (a, 1) (1, b) (a, b) (1, 1) (1, 1) (a, 1) (1, b) (a, b) (a, 1) (a, 1) (1, 1) (a, b) (1, b) (1, b) (1, b) (a, b) (1, 1) (a, 1) (a, b) (a, b) (1, b) (a, 1) (1, 1)
அடிப்படைப் பண்புகள்
தொகு- G × H குலத்தின் கிரமம் G மற்றும் H குலங்களின் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்:
- | G × H | = | G | | H |.
- G × H இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு (g, h) இன் கிரமம் g, h இன் கிரமங்களின் மீச்சிறு பொது மடங்காகும்:
- | (g, h) | = lcm( | g |, | h | ).
- குறிப்பாக | g |, | h | இரண்டும் சார்பகா எண்கள் (relatively prime) எனில் (g, h) இன் கிரமம், g மற்றும் h இன் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாகும்.
- G , H இரண்டும் சார்பாகா எண்களைக் கிரமமாகக் கொண்ட சுழற் குலங்கள் எனில் G × H ம் ஒரு சுழற் குலமாக இருக்கும்.
m , n இரண்டும் சார்பகா எண்களெனில்
- ( Z / mZ ) × ( Z / nZ ) ≅ Z / mnZ.
பொதுமைப்படுத்தல்
தொகுஇரண்டிற்கும் மேற்பட்ட குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தைக் காணமுடியும்.
தரப்பட்ட குலங்கள் G1, ..., Gn எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம்
பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
- G1 × ··· × Gn உறுப்புகள் (g1, ..., gn), gi ∈ Gi (ஒவ்வொரு i க்கும்) வடிவில் அமையும்.
- G1 × ··· × Gn இல் வரையறுக்கப்படும் செயலி:
(g1, ..., gn)(g1′, ..., gn′) = (g1g1′, ..., gngn′).
இரு குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தின் பல பண்புகள் இதற்கும் பொருந்தும். முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தையும் காணமுடியும்.
மேற்கோள்கள்
தொகு- Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-89871-510-1
- Herstein, Israel Nathan (1996), Abstract algebra (3rd ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
- Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2nd ed.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR 0356988.
- Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-22025-3.
- Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-94461-6.