கூட்டல்-கழித்தல் குறி

±

கூட்டல்-கழித்தல் குறி அல்லது பிளசு-மைனசு குறி (plus-minus sign - ±) என்பது பல பொருள்கொண்ட ஒரு கணிதக் குறியாகும்.

• கணிதத்தில் ஒன்றுக்கொன்று எதிரானதாக அமையும் இரு மதிப்புகளைக் குறிக்கப் பயன்படும்.
• சோதனைமுறை அறிவியலில், இக்குறி நம்பக இடைவெளியையும், அளவீட்டுப் பிழையையும் குறிக்கும்.
• பொறியியலில் மதிப்புகள் ஏற்கக்கூடிய, பாதுகாப்பான வீச்சைக் குறிக்கும்.(Engineering tolerance)
• வேதியியலில் சுழிமாய்க் கலவையைக் (racemic mixture) குறிக்கும்.
• சதுரங்க விளையாட்டில் இக்குறி வெள்ளை நிறக்காய் ஆட்டக்காரரின்ஆதாயத்தையும், இக்குறியின் நிரப்பிக் குறியான ∓ , கருப்புக் காய் ஆட்டக்காரரின் ஆதாயத்தையும் குறிக்கும்.

இக்குறி "பிளசு அல்லது மைனசு" ("plus or minus") என வாசிக்கப்படுகிறது.

வரலாறு

அல்லது என்ற பொருள்கொண்ட பிரெஞ்சு வார்த்தை "ou" உட்பட்ட இக்குறியின் வடிவம் அதன் கணிதப் பொருளில் 1626 இல் கணிதவியலாளர் ஆல்பெர்டு ஜிரடாலும், இக்குறியின் தற்கால வடிவம் 1631 இலும் பயன்படுத்தப்பட்டது.

பயன்பாடு

கணிதம்

வாய்பாடுகளில் + அல்லது − ஆகிய இரண்டு குறிகளில் ஏதேனும் ஒன்றால் பதிலிடப்படக்கூடிய குறியைக் காட்டுவதற்கு ± பயன்படுத்தப்படும். இக்குறியைக் கொண்ட வாய்ப்பாடுகள் இரு மதிப்புகள் அல்லது இரு சமன்பாடுகளைத் தரும்.

எடுத்துக்காட்டு:

• x² = 1 சமன்பாட்டின் தீர்வு x = ±1.
• ax² + bx + c = 0 இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வு: $\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$
• முக்கோணவியல் முற்றொருமை:

$\sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B).\,$ இம்முற்றொருமையில் ± குறியைப் பயன்படுத்தி, ஒன்றில் இருபுறமும் "+" குறியையும் மற்றொன்றில் இருபுறமும் "−" குறியையும் கொண்ட இரு வாய்ப்பாடுகள் ஒன்றாகச் சுருக்கித் தரப்பட்டுள்ளது. ஒருபுறம் "+" குறியும், மறுபுறம் "−" குறியும் எடுக்கக் கூடாது. அவ்வாறு எடுத்துக்கொள்ளும்போது கிடைக்கும் வாய்பாடு உண்மையானதாக இருக்காது.

சைன் சார்பின் டெயிலர் விரிவு:

$\sin \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \pm {\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}+\cdots .$

இத்தொடரிலுள்ள கூட்டல்-கழித்தல் குறி, இத்தொடரின் உறுப்புகளின் குறி +, - என மாறி மாறிவரும் என்பதைக் காட்டுகிறது. அதாவது இத்தொடரில்  n இன் இரட்டை மதிப்புக்கான உறுப்புகள் கூட்டப்படுகின்றன;  n இன் ஒற்றை மதிப்புக்கான உறுப்புகள் கழிக்கப்படுகின்றன.

புள்ளியியல்

புள்ளியியலில் தோராயமாக்கத்தில் ஒரு கணியத்தின் எண் மதிப்புடன் சேர்த்து அதன் பிழை எல்லையையும் தரும்போது ⟨±⟩ குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, "5.7±0.2" என்பது ஒரு கணியத்தின் மதிப்பு 5.5 முதல் 5.9 வரை இருக்கலாம் என்பதைக் குறிக்கிறது.

பிழை எல்லையைக் குறிக்க விழுக்காடும் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 230 ± 10% V என்பது மின்னழுத்தத்தின் அளவு 230 V விட 10% குறைவாகவோ அல்லது கூடுதலாகவோ (207 V to 253 V) இருக்கலாம் என்பதைக் காட்டுகிறது. மேல் வரம்புக்கும் கீழ் வரம்புக்கும் வெவ்வேறான மதிப்புகள் பயன்படுத்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கணியத்தின் மதிப்பு 5.7 ஆக இருக்கலாம்; அதேசமயம் அதிகபட்சமாக 5.9 ஆகவும், குறைந்தபட்சம் 5.6 ஆகவும் இருக்கலாம் என்பதை 5.7+0.2
−0.1 எனக் குறிக்கலாம்.

சதுரங்கம்

சதுரங்க விளையாட்டில் வெள்ளைக் காய் ஆட்டக்காரரின் ஆதாயத்தைக் குறிக்க ± குறியும், கருப்புக் காய் ஆட்டக்காரரின் ஆதாயத்தைக் குறிக்க ∓ குறியும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எனினும் சதுரங்கத்தில் + , – குறிகளே பெரும்பாலும் கையாளப்படுகின்றன. + , − குறிகள், ± , ∓ குறிகளை விட மிக அதிகளவு ஆதாயத்தைக் குறிக்கின்றன..

கழித்தல்-கூட்டல் குறி

"±" குறியுடன் இணைத்து பயன்படுத்தப்படும் மற்றொரு குறி கழித்தல்-கூட்டல் குறி (∓). எடுத்துக்காட்டாக "x ± y ∓ z" என்ற கோவை, "x + y − z" அல்லது/மற்றும் "x − y + z" எனப் பொருள்படும். ஆனால் "x + y + z" , "x − y − z" எனப் பொருள்படாது. "∓" குறியில் மேலமைந்துள்ள "−" குறியானது "±" இலுள்ள "+" குறியுடனும், "∓" குறியில் கீழமைந்துள்ள "+" குறியானது "±" இல் இலுள்ள "-" குறியுடனும் இணையும். ஒரு கோவையில் இருமுறை "±" குறி காணப்படுமானால், அக்கோவை இரண்டு அல்லது நான்கு வெவ்வேறான கோவைகளாகப் பொருள்படுமா என்பதைக் குறியீட்டை மட்டும் கொண்டு கூற முடியாது. குழப்பமின்றி பொருள் கொள்வதற்கு மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டை "x ± (y − z)" என எழுதலாம்.

இருப்பினும் முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளில் "± , ∓" இரண்டும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

$\cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)$

இதிலிருந்து பெறப்படும் சமன்பாடுகள்:

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)\,$

$\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)\,$

ஆனால் கீழுள்ள இரு இரு சமன்பாடுகளாக ஒருபோதும் அமையாது:

$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)+\sin(A)\sin(B)\,$

$\cos(A-B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B)\,$

இரு சமன்பாடுகளைத் தரும் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு:

$x^{3}\pm 1=(x\pm 1)(x^{2}\mp x+1)$

இதிலிருந்து பெறப்படும் இரு சமன்பாடுகள்:

$x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)$

$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$

ஒத்த எழுத்துருக்கள்

கூட்டல்-கழித்தல் மற்றும் கழித்தல்-கூட்டல் குறிகள் முறையே, சீன எழுத்துமுறையிலுள்ள 土, 干 இரண்டையும் ஒத்துள்ளன.