கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி

கணிதத்தில் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின் (inequality of arithmetic and geometric means) கூற்றுப்படி, எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் கொண்ட ஒரு பட்டியலின் கூட்டுச்சராசரியானது அதே பட்டியலின் பெருக்கல் சராசரியைவிடப் பெரியதாக அல்லது சமமாக இருக்கும். மேலும் அப்பட்டியலிலுள்ள எண்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இவ்விரு சராசரிகளும் சமமாக இருக்கும்.

இச்சமனிலி சுருக்கமாக AM–GM சமனிலி (AM–GM inequality) எனப்படுகிறது.

இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்களுக்கான சமனிலி: $x$ $y$ இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் எனில் அவற்றின் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி:

{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}

x = y

என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.

தருவித்தல்:

ஒரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கம் எப்பொழுதும் எதிர்மமில்லா எண்ணாகவே இருக்கும் என்பதால்:

{\begin{aligned}0&\leq (x-y)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}

$(x + y) 2 \geq 4 xy$ ,

(x - y) 2 = 0

, அதாவது.

x = y

ஆக இருந்தால் மட்டுமே மேலுள்ள சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.

சமனிலியின் இருபுறமும் நேர்ம வர்க்கமூலம் எடுத்து இரண்டால் வகுக்க:

{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}

வடிவவியல் விளக்கம்:

$x$ $y$ என்பன செவ்வகத்தின் பக்க நீளங்கள் எனில் அச்செவ்வகத்தின் சுற்றளவு $2 x + 2 y$ ; பரப்பளவு $xy$ . அதேபோல $\sqrt xy$ பக்க நீளமுள்ள சதுரத்தின் சுற்றளவு $4 \sqrt xy$ ; பரப்பளவு $xy$ . அதாவது இந்த செவ்வகம் மற்றும் சதுரங்களின் பரப்பளவுகள் சமம். ஆனால் செவ்வகத்தின் சுற்றளவானது சதுரத்தின் சுற்றளவைவிடப் பெரிது (படம்-2 இல் காண்க). எனவே,

2 x + 2 y \geq 4 \sqrt xy

{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}

பின்புலம்

$x 1, x 2, . . . , x n$ என்ற $n$ எண்களின் கூட்டுத்தொகையை $n$ ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது இந்த எண்களின் கூட்டுச்சராசரி அல்லது சராசரி ஆகும். கூட்டுச்சராசரி AM (எனச் சுருக்கமாகக் குறிக்கப்படுகிறது.

மேலே தரப்பட்ட எண்களின் கூட்டுச்சராசரி:

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.

எதிர்மமில்லா எண்களுக்கு மட்டுமே பெருக்கல் சராசரி வரையறுக்கப்படுகிறது. $x 1, x 2, . . . , x n$ என்ற $n$ எண்களின் பெருக்கல் சராசரியானது இந்த எண்களின் பெருக்குத்தொகையின் Nஆம் படி மூலம் ஆகும். பெருக்கல் சராசரியின் சுருக்குக் குறியீடு: GM

மேலே தரப்பட்ட எண்களின் பெருக்கல் சராசரி:

{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.

$x 1, x 2, . . . , x n > 0$ எனில் பெருக்கல் சராசரியானது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட எண்களின் இயல் மடக்கைகளின் கூட்டுச் சராசரியின் அடுக்கேற்றமாகும்:

{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}=\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right).

சமனிலி

$x 1, x 2, . . . , x n$ ஆகிய $n$ எதிர்மமில்லா எண்களின் கூட்டு மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி:

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,

$x 1 = x 2 = \cdot \cdot \cdot = x n$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.

வடிவவியல் விளக்கம்

இருபரிமாணத்தில், $x 1$ , $x 2$ பக்க நீளங்கள் கொண்ட செவ்வகத்தின் சுற்றளவு $2 x 1 + 2 x 2$ . மேலும் அச்செவ்வகத்தின் பரப்பளவு $x 1 x 2$ . இதே பரப்பளவு கொண்ட சதுரத்தின் சுற்றளவு $4 \sqrt x 1 x 2$ ஆக இருக்கும்.

எனவே $n = 2$ எனில் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின்படி,

தரப்பட்ட பரப்பளவுகொண்ட ஒரு செவ்வகமானது சதுரமாக இருந்தால் அதன் சுற்றளவு மிகச்சிறியதாக இருக்கும்.

இக்கருத்தின் $n$ பரிமாண நீட்டிப்பே முழுச் சமனிலியாகும்.

AM–GM சமனிலியின்படி,

n

-பரிமாண பெட்டியானது சம கனவளவுள்ள மீகனசதுரமாக இருக்கும்போது அதன் ஒரு முனையுடன் இணைக்கப்பட்ட அதன் விளிம்புகளின் நீளங்களின் கூடுதல் மிகச்சிறியதாக இருக்கும்.^[2]

மேற்கோள்கள்

↑ Hoffman, D. G. (1981), "Packing problems and inequalities", in Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner, Springer, pp. 212–225, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-1-4684-6686-7_19
↑ Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. MAA Problem Books Series. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-54677-5. இணையக் கணினி நூலக மைய எண் 54079548.

வெளியிணைப்புகள்

Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.

[1] Hoffman, D. G. (1981), "Packing problems and inequalities", in Klarner, David A. (ed.), The Mathematical Gardner, Springer, pp. 212–225, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-1-4684-6686-7_19

[2] Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. MAA Problem Books Series. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-54677-5. இணையக் கணினி நூலக மைய எண் 54079548.

[1]

[2]