சமச்சீர் அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியும் அதன் இடமாற்று அணியும் சமமாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணியானது சமச்சீர் அணி (symmetric matrix) எனப்படும்.

சதுர அணி A ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:

$A=A^{\top }.$

ஒரே வரிசையுள்ள இரு அணிகளே சமமாக இருக்கமுடியும் என்பதால் சதுர அணிகள் மட்டுமே சமச்சீர் அணிகளாக இருக்க முடியும்.

சமச்சீர் அணியின் உறுப்புகள் அதன் மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும்.

A = (a_ij), எனில் அனைத்து i , j மதிப்புகளுக்கும், a_ij = a_ji

எடுத்துக்காட்டு: கீழுள்ள 3×3 அணி ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.

${\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.$

சதுர மூலைவிட்ட அணிகளில் அவற்றின் முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் தவிர்த்த பிற உறுப்புகள் பூச்சியமென்பதால், ஒவ்வொரு சதுர மூலைவிட்ட அணியும் ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட சமச்சீர் அணியானது, உட்பெருக்க வெளியின் மீதான தன்-சேர்ப்புச் செயலியாக (self-adjoint operator) இருக்கும்.

பண்புகள்

• இரு சமச்சீர் அணிகளைக் கூட்டினால் கிடைக்கும் அணியும் சமச்சீர் அணியாக இருக்கும். *இரு சமச்சீர் அணிகளைக் கழிக்கக் கிடைக்கும் அணியும் சமச்சீர் அணியாக இருக்கும்.
• பொதுவாக இரு சமச்சீர் அணிகளைப் பெருக்கினால் கிடைக்கும் அணி சமச்சீர் அணியாக இருக்காது. ஆனால் அவ்விரு அணிகளும் அணிப்பெருக்கலைப் பொறுத்து பரிமாற்றுத்தன்மை (AB = BA) கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் பெருக்கல் அணியும் சமச்சீர் அணியாக இருக்கும்.
• A⁻¹ இருக்குமானால், A சமச்சீராக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே A⁻¹ உம் சமச்சீராக இருக்கும்.
• ஒவ்வொரு சமச்சீர் அணியும் இயல்நிலை அணியாகவும் இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• A brief introduction and proof of eigenvalue properties of the real symmetric matrix