பை (கணித மாறிலி): திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சிNo edit summary
வரிசை 115:
(மற்ற முறைகளில் அமைத்த ஈடுகோள்களை [http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ வுல்ஃபரம் வலைத்தளத்தில்] காணலாம்
 
===எண்ணில் கொள்கை (=எண் கருத்தியல் கொள்கை) (Number theory)===
எண்ணியல் கொள்கைகளில் இருந்து சில முடிவுகள்::
* இரு [[சீரிலி]] எண்களை தேர்ந்தெடுத்தால், அவை [[ஒன்றுக்கொன்று பகாஎண்]]களாக இருப்பதன் வாய்ப்பு 6/''π''<sup>2</sup> என்பதாகும். (The [[probability]] that two [[random]]ly chosen integers are [[coprime]] is 6/''π''<sup>2</sup>.)
 
* The probability that a randomly chosen integer is [[square-free integer|square-free]] is 6/''π''<sup>2</sup>.
 
* The [[mean|average]] number of ways to write a positive integer as the sum of two [[perfect square]]s (order matters) is ''π''/4.
 
Here, "probability", "average", and "random" are taken in a limiting sense, e.g. we consider the probability for the set of integers {1, 2, 3,…, ''N''}, and then take the [[limit (mathematics)|limit]] as ''N'' approaches infinity.
 
* The [[Product (mathematics)|product]] of (1&nbsp;−&nbsp;1/''p''<sup>2</sup>) over the [[prime number|primes]], ''p'', is 6/''π''<sup>2</sup>.<math> \prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2} </math>
 
The theory of elliptic curves and [[complex multiplication]] derives the approximation
: <math>\pi \approx {\ln(640320^3+744)\over\sqrt{163}}</math>
which is valid to about 30 digits.
 
=== Dynamical systems and ergodic theory ===
Consider the [[recurrence relation]]
:<math>x_{i+1} = 4 x_i (1 - x_i) \,</math>
Then for [[almost everywhere|almost every]] initial value ''x''<sub>0</sub> in the [[unit interval]] [0,1],
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi} </math>
This recurrence relation is the [[logistic map]] with parameter ''r''&nbsp;=&nbsp;4, known from [[dynamical system]]s theory. See also: [[ergodic theory]].
 
=== இயற்பியல் ===
அடிப்படை வானவியல் போன்ற இயற்பியல் துறைகளில் உண்மைகளைக் காணும்பொழுது ''π'' என்னும் எண் பரவலாக வரக் காணலாம்.
 
* [[பிரபஞ்சவியல் மாறிலி]]:
* The [[cosmological constant]]:
:<math>\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho</math>
* [[ஐயப்பாட்டுக் கொள்கை|ஐசன்பர்கின் ஐயப்பாட்டுக் கொள்கை]]:
* [[Uncertainty principle|Heisenberg's uncertainty principle]]:
:<math> \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>
* [[பொதுச் சார்புக் கோட்பாடு|பொதுச் சார்புக் கோட்பாட்டில்]] [[ஐன்ஸ்டைனின் மண்டலச் சமன்பாடுகள்]]:
* [[Einstein's field equation]] of [[general relativity]]:
:<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>
=== மின் மற்றும் காந்தவியலில் ===
* [[மின்விசை]]க்கான [[கூலோமின் விதி]]:
:<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \epsilon_0 r^2}</math>
* வெற்றிடத்தில் காந்த உட்புகு திறன்:
* [[Permeability (electromagnetism)|Magnetic permeability of free space]]:
:<math> \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,</math>
 
=== நிகழ்தகவும் புள்ளிவிபரவியலும் ===
In [[probability]] and [[statistics]], there are many [[probability distribution|distributions]] whose formulæ contain ''π'', including:
* [[probability density function]] (pdf) for the [[normal distribution]] with [[mean]] μ and [[standard deviation]] σ:
 
:<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>
* pdf for the (standard) [[Cauchy distribution]]:
 
:<math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}</math>
 
Note that since <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1</math>, for any pdf ''f''(''x''), the above formulæ can be used to produce other integral formulae for ''π''.
 
A semi-interesting empirical approximation of ''π'' is based on [[Buffon's needle]] problem. Consider dropping a needle of length ''L'' repeatedly on a surface containing parallel lines drawn ''S'' units apart (with ''S''&nbsp;>&nbsp;''L''). If the needle is dropped ''n'' times and ''x'' of those times it comes to rest crossing a line (''x''&nbsp;>&nbsp;0), then one may approximate ''π'' using:
:<math>\pi \approx \frac{2nL}{xS}</math>
[As a practical matter, this approximation is poor and [[rate of convergence|converges]] very slowly.]
 
Another approximation of ''π'' is to [http://www.statisticool.com/pi.htm throw points randomly] into a quarter of a circle with radius 1 that is inscribed in a square of length 1. ''π'', the area of a unit circle, is then approximated as 4*(points in the quarter circle) / (total points).
 
== π இன் வரலாறு ==
{{main|பை மாறிலியின் அண்ணளவாக்கங்கள்}}
 
== வரலாற்றில் பை (π) யின் தோராய மதிப்பீடுகள் ==
{{main|பை மாறிலியின் அண்ணளவாக்கங்கள்}}
 
== இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
* [[பை மாறிலியின் அண்ணளவாக்கங்கள்]]
 
* [[தொடரும் பின்னம்]]
* [[கணிதத்தின் நிலைப்பிகள்]]
"https://ta.wikipedia.org/wiki/பை_(கணித_மாறிலி)" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது