அதிபரவளைவு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
Booradleyp (பேச்சு | பங்களிப்புகள்)
Booradleyp (பேச்சு | பங்களிப்புகள்)
வரிசை 42:
'''இயக்குவரை'''
 
மேலே குவியத்தில் கூறப்பட்டுள்ள வரையறையின் நிலையான கோடு அதிபரவளையத்தின் இயக்குவரை எனப்படும். அதிபரவளையத்தின் சமச்சீர்ப் பண்பால் அதற்கு இரண்டு இயக்குவரைகள் உள்ளன. இவை இரண்டும் அதிபரவளையத்தின் துணை அச்சுக்குக்கு [[இணை (வடிவவியல்)|இணையாக]] இருபுறமும் மையத்திலிருந்து சமதூரத்தில் அமைகின்றன. அதிபரவளையத்தின் மையத்திற்கும் இயக்குவரைக்கும் இடைப்பட்ட தூரம் a/e.
 
'''வட்ட விலகல்'''
வரிசை 66:
<math>\pm \frac{b}{a}</math>
 
θ, குறுக்கச்சுக்கும் அணுகுகோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட [[கோணம்]] θ எனில் :<math> \tan\theta = \pm \frac{b}{a}</math>
 
:<math> \tan\theta = \pm \frac{b}{a}</math>
 
==சமன்பாடுகள்==
 
===பொதுவடிவம்===
 
(''x'', ''y'') இல் அமைந்த பொதுவடிவ இருபடிச் சமன்பாடு கீழ்க்கண்ட கட்டுப்பாட்டுக்கு உட்பட்டு ஒரு அதிபரவளையத்தைக் குறிக்கும்.
 
:<math>A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>
 
கட்டுப்பாடு:
:<math>B^2 > 4 AC</math> ஆக உள்ளதுடன் எல்லாக் [[எண் கெழு|குணகங்களும்]] [[மெய்யெண்]]களாகும்.
 
===நியமன வடிவம்===
ஆதியை மையமாகவும் x மற்றும் y அச்சுகளை முறையே குறுக்கு அச்சு மற்றும் துணை அச்சாகக் கொண்ட அதிபரவளையத்தின் கார்ட்டீசியன் ச்மன்பாடு:
:<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1,\,</math> <math>b>a, \,</math> மற்றும் <math>{b^2} = a^2 (e^2 - 1)\,</math>
 
இந்த அதிபரவளையத்தின்
 
*மையம்:(0,0)
*குறுக்கு அச்சு -<math>x</math>-அச்சு
*துணையச்சு -<math>y</math>-அச்சு
*குறுக்கச்சின் நீளம் =2a
*துணை அச்சின் நீளம் =2b
*குவியங்கள்: <math>(-e a, 0)</math> மற்றும் <math>(+e a, 0)</math>
*இயக்குவரைகளின் சமன்பாடுகள்: <math> x = \pm\frac{a}{e}</math>
*வட்டவிலகல்: <math> e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}</math>
*செவ்வகலத்தின் நீளம் =<math>\frac{2b^2}{a}</math>
 
==அதிபரவளைங்களின் வகைகள்==
 
===கிழக்கு-மேற்கு நோக்கித் திறந்த அதிபரவளையம்===
 
குறுக்கச்சு கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையின் ''x''-அச்சுடனும் மையம் ஆதிப்புள்ளியுடனும் பொருந்தும் அதிபரவளைவின் சமன்பாடு:
 
:<math>
\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.
</math>
 
இந்த அதிபரவளையம் ''கிழக்கு-மேற்கு நோக்கித் திறந்த அதிபரவளையம்'' என அழைக்கப்படும்.
 
===வடக்கு-தெற்கு நோக்கித் திறந்த அதிபரவளையம்===
 
குறுக்கச்சு [[கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை]]யின் ''y''-அச்சுடனும் மையம் [[ஆதிப்புள்ளி]]யுடனும் பொருந்தும் அதிபரவளைவின் சமன்பாடு:
 
:<math>
\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1.
</math>
 
இந்த அதிபரவளையம் ''வடக்கு-தெற்கு நோக்கித் திறந்த அதிபரவளையம்'' என அழைக்கப்படும்.
 
கிழக்கு-மேற்கு நோக்கித் திறந்த, ஆதியை மையமாக உடைய அதிபரவளையத்திற்குச் சர்வசமமாக, அதே வட்டவிலகல்கள் கொண்டு அமையும் அதிபரவளையங்கள் வடக்கு-தெற்கு நோக்கித் திறந்த ஆதியை மையமாக உடைய அதிபரவளையத்திற்கும் சர்வசமமாக அமையும் (இங்கும் வட்டவிலகல்கள் சமமாக இருக்கும்). தேவையான [[சுழற்சி]]யால் திறப்பு திசையை மாற்றக் கொள்ளலாம், மேலும் [[இடப்பெயர்ச்சி]]யால் மையங்களை ஆதிக்கு நகர்த்தலாம் என்பதால் இது சாத்தியமாகிறது. வழக்கமாக கிழக்கு-மேற்கு நோக்கித் திறந்த அதிபரவளையங்களே ஆய்வுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
===துணை அதிபரவளையம்===
 
ஒவ்வொரு அதிபரவளையத்துக்கும் ஒரு துணை அதிபரவளையம் உண்டு. ஒரு அதிபரவளையத்தின் குறுக்கச்சு மற்றும் துணையச்சு இரண்டையும் பரிமாற்றம் செய்யக் கிடைக்கும் புது அதிபரவளையம் எடுத்துக்கொண்ட அதிபரவளையத்தின் ''துணை அதிபரவளையம்'' எனப்படும்.
 
அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு:
 
:<math>\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1</math> எனில்:
 
துணை அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு:
 
:<math>\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = -1</math>.
 
துணை அதிபரவளையத்தின் வரைபடத்தை 90° சுழற்றினால் கிடைக்கக்கூடிய புது அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு, ''a'' மற்றும் ''b'' இரண்டும் இடம் மாறியிருக்கும் மாற்றத்தைத் தவிர, எடுத்துக் கொண்ட அதிபரவளையத்தின் சமன்பாட்டினைப் போலவே அமையும். அதிபரவளையம் மற்றும் துணை அதிபரவளையத்தின் கோணங்கள் [[நிரப்புக் கோணங்கள்|நிரப்புக் கோணங்களாக]] அமையும். அதனால் அதிபரவளையத்தின் கோணம் θ = 45° (செவ்வக அதிபரவளையம்) கொண்ட அதிபரவளையத்துக்கு மட்டும் அதிபரவளையம் மற்றும் துணை அதிபரவளையம் இரண்டின் வட்டவிலகலும் சமமாக இருக்கும். பிற அதிபரவளையங்களுக்கு அதிபரவளையம் மற்றும் துணை அதிபரவளையம் இரண்டின் வட்டவிலகல்கள் வெவ்வேறாக இருக்கும். எனவே 90° சுழற்சியால் துணை அதிபரவளையத்தை மூல அதிபரவளையத்தோடு பொருத்த முடியாது.
 
===செவ்வக அதிபரவளையம்===
[[File:Rectangular hyperbola.svg|thumb|200px| [[தலைகீழி]]ச் சார்பு<math>y=\tfrac{1}{x}</math>, செவ்வக அதிபரவளையத்தின் வரைபடம்]]
 
ஒரு அதிபரவளையத்தின் குறுக்கச்சின் நீளமும் துணையச்சின் நீளமும் சமம் (b = a) எனில், அதன் அணுகு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் 2θ = 90°. இத்தகைய அதிபரவளையம் செவ்வக அதிபரவளையம் எனப்படும்.
 
ஆதியை மையமாகவும் ஆய அச்சுக்களை அணுகுகோடுகளாகவும் கொண்ட செவ்வக அதிபரவளையத்தின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு:
 
:<math> xy =c^2, \,</math> இங்கு <math> c^2 =\frac{a^2}{2}\,</math>
 
[[பகுப்பு:வடிவவியல்]]
"https://ta.wikipedia.org/wiki/அதிபரவளைவு" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது