கூட்டுத் தொடர்வரிசை: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி r2.7.3) (தானியங்கி இணைப்பு: ky:Арифметикалык прогрессия |
Xqbot (பேச்சு | பங்களிப்புகள்) சி r2.7.3) (தானியங்கி இணைப்பு: be:Арыфметычная прагрэсія; மேலோட்டமான மாற்றங்கள் |
||
வரிசை 1:
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''கூட்டுத் தொடர்''' அல்லது '''எண்கணிதத் தொடர்''' என்பது அடுத்தடுத்து வரும் ''எந்த'' இரு எண்களுக்கு இடையே ''ஓரே ஓர் எண்'' வேறுபாடாக இருக்குமாறு அமைந்த, வரிசையாக வரும் எண்கள். எடுத்துக்காட்டாக 3, 5, 7, 9, 11, 13, … என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர், ஏனெனில் அடுத்தடுத்து வரும் ''எந்த'' இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு இங்கே 2. அதாவது, இத்தொடரை 3, 3+2, (3+2)+2,... என்று எழுதலாம்; அடுத்தடுத்து, ஒரு வரிசையில் வரும் எண்களை அறிய, ஓர் உறுப்பின் முன்னுள்ள எண்ணுடன் 2 ஐச் சேர்த்தால் கிட்டும். ஒரு கூட்டுத் தொடரில் அடுத்தடுத்து வரும் ''எந்த'' இரண்டு எண்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு ''பொது வேறுபாடு'' எனப்படும்.
கூட்டுத்தொடரில் வரும் முதல் எண் <math>a_1</math> என்றும், பொது வேறுபாடு ''d'' என்றும் கொண்டால், வரிசையில் ''n''-ஆவது உறுப்பு என்ன என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
வரிசை 12:
ஒரு கூட்டுத்தொடர் எப்படி வளர்கின்றது என்பது, அதன் பொதுவேறுபாட்டு எண்ணைப் பொருத்துள்ளது. பொதுவேறுபாட்டு எண்ணானது,
* நேர்ம எண்ணாக இருந்தால், அடுத்தடுத்து வரும் உறுப்புகள் பெருகிக்கொண்டே போய் முடிவிலிக்குப் போகும்;
* எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால், எதிர்திசையில் பெருகிக்கொண்டே போய் எதிர்ம முடிவிலிக்குப் போகும்.
== கூட்டுத் தொடரின்,
ஒரு வரம்புள்ள கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளைக் கூட்டினால், அதன் ''கூட்டல் மதிப்பு'' அல்லது ''கூட்டுத்தொகை'' என்ன என்பதைக் கணிக்கலாம். ஒரு கூட்டுத்தொடரின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை <math> S_n </math> எனக் குறிப்பதாகக் கொண்டால், இந்தக் கூட்டுத்தொகையை இருவேறு விதமாக எழுதலாம் (இப்படி இருவேறு விதமாகக் கணக்கிடும் முறை, நிறுவலுக்குப் பயன்படும் ஒரு தனி முறையாகவும் கொள்ளப்படுகின்றது):
வரிசை 22:
:<math> S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.</math>
மேலே உள்ளதில், முதல் தொடரானது <math>a_1</math> ஓடு d, 2d, 3d என்று படிப்படியாகக் ''கூட்டிக்கொண்டே'' போவது, ஆனால் இரண்டாவது தொடரானது, கடைசி உறுப்பாகிய <math>a_n</math> இல் இருந்து (n-1)d, (n-2)d என்று படிப்படியாக ''கழித்துக்கொண்டே'' செல்வது. இப்படியாக மேலே உள்ளவாறு இருவேறு விதமாக எழுதப்பட்ட இரண்டு கூட்டுத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கூட்டினால், பொதுவேறுபாடான ''d'' ஒன்றோடு ஒன்று ''கழிபட்டுப்'' போகின்றது:
:<math>\ 2S_n=n(a_1+a_n).</math>
சமன்பாட்டின் இருபுறத்தையும் இரண்டால் வகுத்தால், கூட்டுத்தொகையை அடையலாம்:
:<math> S_n=\frac{n}{2}( a_1 + a_n).</math>
இன்னொரு மாற்று வடிவத்தைப் பெற, மீண்டும்
:<math> S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + (n-1)d].</math>
வரிசை 41:
:<math>S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.</math>
== கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை ==
ஒரு வரம்புள கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளைப் பெருக்கினால் வரும் பெருக்குத்தொகையைக் கணிக்கலாம். முதல் உறுப்பு அல்லது உருப்படி ''a''<sub>1</sub> என்றும், பொதுவேறுபாடு ''d'' என்றும், மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ''n'' என்றும் கொண்டால், அந்த n உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை முடிவுறும் வாய்பாடாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
வரிசை 89:
| pages = 259–260}}
== மேலும் படிக்க ==
* [[பெருக்குத் தொடர்]]
== வெளியிணைப்புகள் ==
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticProgression|title=Arithmetic progression}}
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticSeries|title=Arithmetic series}}
வரிசை 101:
[[ar:متتالية حسابية]]
[[az:Ədədi silsilə]]
[[be:Арыфметычная прагрэсія]]
[[bg:Аритметична прогресия]]
[[bs:Aritmetička progresija]]
| |||