லியோனார்டு ஆய்லர்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

'''லியோனார்டு ஆய்லர்''' (''Leonhard Euler'', [[ஏப்ரல் 15]], [[1707]] – {{OldStyleDate|செப்டம்பர் 18|1783|செப்டம்பர் 7}}) என்பார் [[சுவிட்சர்லாந்து]] நாட்டின் மிகுபுகழ் பெற்ற ஒரு [[கணிதவியல்]], மற்றும் [[அறிவியல்]] அறிஞர். இவர் யாவரைக்காட்டிலும் மிக அதிகமான அளவில் கணிதவியல் மற்றும் அறிவியல் ஆய்வுக் கண்டுபிடிப்புகள் செய்த பேரறிஞர். [[நுண்கணிதம்]] முதல் [[கோலக் கோட்பாடு]] வரையிலான கணிதத்துறையின் பல்வகைப்பட்ட பிரிவுகளில் ஈடுபாடு காட்டினார். இவருடைய கண்டுபிடிப்புகள் 70க்கும் மேலான எண்ணிக்கையில் பெரும் புத்தகங்களாக வெளிவந்துள்ளன. அதனிலும் அவருடைய கடைசி 17 ஆண்டுகள் முழுக்கண்ணும் தெரியாமல் அவர் வாயால் சொல்லி மற்றவர்கள் எழுதினார்கள் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. உலகக்கணித வரலாற்றில் கணித இயலாளர்களின் பட்டியலில் ஆய்லருக்கு முதல் ஐந்தாறு இடங்களிலேயே ஓர் இடம் உண்டு. இவர் தற்காலக் கணிதத்துறையில் பயன்படும் பெரும்பாலான [[கலைச்சொல்|கலைச்சொற்களையும்]] குறியீடுகளையும் அறிமுகப்படுத்தினார். இவர் [[விசையியல்]] (mechanics), [[ஒளியியல்]], [[வானியல்]] ஆகிய துறைகளிலும் பங்களிப்புக்களைச் செய்துள்ளார். "ஆய்லரை வாசியுங்கள், ஆய்லரை வாசியுங்கள் அவரே எங்கள் எல்லோருக்கும் குரு" என்று [[பியரே-சைமன் லாப்பிளாஸ்]] கூறியதாகச் சொல்லப்படுகிறது.

சுவிசர்லாந்தில் பிறந்த லியனார்ட் ஆய்லர் படித்த பள்ளியில் கணிதம் பாடமாகவே இல்லை. அதனால் கணிதத்தில் ஆர்வமுடைய இவருடைய தந்தை பால் ஆய்லர் இவரை [[ஜான் பெர்னோவிலி]] (1667 – 1748) என்ற ஒரு புகழ் பெற்ற கணிதப் பேராசிரியரிடம் தனி மாணவனாகப் பாடம் கற்றுக் கொள்ள அனுப்பித்தார். ஆனால் பெர்னோவிலி இவரை சனிக்கிழமைகளில் மாத்திரம் வரச்சொல்லி உன் சந்தேகங்களைக் கேட்டுக்கொள் என்று சொல்லிவிட்டார். அதுவே ஆய்லருக்கு ஒரு வரப் பிரசாதமாகியது. ஏனென்றால் கணிதம் கற்றுக் கொள்ள இதைவிட வேறு நல்ல வழி கிடையாது என்று ஆய்லரே பிற்காலத்தில் சொல்லியிருக்கிறர். அவருடைய உழைப்பையும் கத்திமுனை புத்தியையும் பார்த்த இன்னும் இரு பெர்னோவிலிகள்தான் ([[டேனியல் பெர்னோவிலி]], [[நிக்கொலாஸ் பெர்னோவிலி]] இருவரும்) இவன் பெரிய கணித மேதையாவான் என்று கண்டுகொண்டு, மதப் படிப்பில் இவரை ஈடுபடுத்த முயன்ற தந்தையின் மனதை மாற்றினார்கள்.

[[பிரஷ்யா]]வின் மன்னர் (1740 – 1786) [[பிரஷ்யாவின் இரண்டாம் பிரெடெரிக்|இரண்டாம் பிரெடெரிக்]]கும் [[ருஷ்யா]]வின் அரசி (1762 -1796) [[ரஷ்யாவின் முதலாம் காதெரின்|முதலாம் காதெரினும்]] கணித உலகத்திற்குச் செய்திருக்கும் சேவை சரித்திரப் பிரசித்தி பெற்றது. [[பெர்லின்|பெர்லினில்]] [[ஜெர்மனி|ஜெர்மானிய]] கலைக்கூடமும், [[சென் பீட்டர்ஸ்பேர்க்|செய்ண்ட் பீடர்ஸ்பர்க்கில்]] ருஷ்யக் கலைக்கூடமும் அக்காலத்தில் ஐரோப்பா முழுவதற்குமே கலை, விஞ்ஞானம் இவைகளுக்குத் தலையாயதாய் இருந்தது. அங்கு வேலை பார்த்த பெரிய விஞ்ஞானிகள் எல்லோரும் அரசுக்கு வேண்டியிருந்த ஆய்வுகளையோ அல்லது ஆசிரியத் தொழிலையோ செய்ததோடு மட்டுமல்லாமல், தம் தமக்குப் பிடித்திருந்த விஞ்ஞான ஆய்வுகளைச் செய்வதில் துடியாய் இருந்தனர். அப்படி இருப்பதற்கே அவர்கள் ஊதியம் பெற்றனர். இப்பேர்ப்பட்ட ஒரு சூழ்நிலையில் தான் ஆய்லர் அந்த இரண்டு கலைக்கூடங்களில் தன் ஆய்வுகளை நடத்தினார்.

ஆய்லர் [[1727]] இல் செய்ண்ட் பீடர்ஸ்பர்க் கலைக்கூடத்தில் உடற்றொழிலியல் பிரிவில் உதவியாளராகப் பணி ஏற்றார். அரசியல் காரணங்களால் வெளி உலகில் மாற்றங்கள் ஏற்பட்டுக் கொண்டிருந்த அச்சமயம் அவர் கணிதப் பிரிவிலேயே பணி ஆற்றுவது கவனிக்கப்படாமலே போயிற்று. [[1733]] இல் டேனியல் பெர்னோவிலி விட்டுச் சென்றபோது ஆய்லர் இயற்பியல் பேராசிரியர் ஆனார். ஒரு எட்டு ஆண்டுகள் உழைத்து, நிலையியக்கவியலில் (Mechanics) இருபாகம் கொண்ட ஒரு நூல் ('[[மெக்கானிக்கா]]')உள்பட, 55 ஆய்வுக் கட்டுரைகள் எழுதினார். இதற்கு நடுவில், அவர் அரசுக்காகச் செய்துகொண்டிருந்த வேலைகள்:

ஒரு [[ஆறு]]. அதில் இரண்டு பெரிய [[தீவு]]கள். படத்தில் காட்டியபடி ஆற்றின் குறுக்கே ஏழு [[பாலம்|பாலங்கள்]]. ஏழு பாலங்களையும் ஒரு நடையில் கடக்கவேண்டும். போன பாலத்திலேயே இரண்டாம் முறை போகக்கூடாது. இது முடியுமா? இதுதான் பிரச்சினை. கோனிக்ஸ்பர்க் மக்களுக்கு இது உண்மைப் பிரச்சினை. ஏனென்றால் அவர்கள் ஊரில் தான் இத்தீவுகளும் பாலங்களும். மக்கள் நடந்து நடந்து சோதனை செய்தே அயர்ந்தனர். ஆய்லர் இதை நுண்பியப்படுத்தி கணித முறைத் தர்க்கத்தினால் விடுவித்தார். அவருடைய தீர்ப்பு: ஏழு பாலங்களையும் ஒரு நடையில் கடக்கமுடியாது. ஏன் என்பதற்கு படத்தைப் பார்ப்போம்.

ஆய்லர் [[கணித மரபு]]ப்படி பிரச்சினையிலிருந்த சம்பந்தமில்லாத விஷயங்களை ஒதுக்கிவிட்டு, அதன் அடித்தளத்திலிருந்த உயிர் நாடிப்பிரச்சினையை வெளிக்கொணர்வதற்காக, பாலங்கள் பிரச்சினையை [[கோலம்]] மூலமாக எளிதாக்கினார். நிலப்பரப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் ஒரு புள்ளியாகவும், பாலங்களை அவைகளை இணைக்கும் கோடுகளாகவும் (அவை நேர் கோடாக இருக்கவேண்டிய தேவையில்லை) செய்ததில் படத்தில் தெரிவதுபோல் ஒரு கோலமாகியது. 4 கோணப்புள்ளிகளும் 7 இணைக்கும் கோடுகளும் உள்ள இந்தக் கோலத்தில், ஒருபுள்ளியிலிருந்து 5 கோடுகளும் மற்ற 3 புள்ளிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் 3 கோடுகளும் செல்கின்றன. இந்த சூழ்நிலைக்கு ஆய்லர் ஒரு கணிதத் தேற்றத்தையே நிறுவினார். அதாவது, எல்லா கோடுகளையும் கடக்கக்கூடிய ஒரு நடை இருக்க வேண்டுமென்றால், ஒன்று, எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள் கோடுகள் செல்லக்கூடாது, அல்லது, இரண்டே புள்ளிகளிலிருந்து ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையுள்ள கோடுகள் செல்லவேண்டும்.

இதற்கும் இடவியலுக்கும் என்ன சம்பந்தமென்றால், இந்தப்பிரச்சினையில் புள்ளிகளிலிருந்து செல்லும் கோடுகள் எத்தனை என்ற ஒரே கேள்விதான் பிரச்சினையின் வேர். இந்த வேர் பிரச்சினையில் வேறு வடிவியல் விவகாரம் இல்லை. புள்ளிகளிலிருந்து எத்தனை கோடுகள் செல்கின்றது என்பது கோலத்தை எவ்வளவு கோணலாக்கினாலும் – அதாவது, கோடுகளை நீட்டி, மடக்கி, வளைத்தாலும் – மாறாமலிருக்கும் ஒரு எண். இந்த மாதிரி கருத்துகளைத்தான் [[இயற்கணித இடவியல்]] ஆய்வு செய்கிறது.

1748, 1755, 1768, 1770 களில் அவர் எழுதிய [[நுண்கணித]] நூல்கள் வெளிவந்த அக்கணமே [[ஐரோப்பா]] முழுதும் பரவி ஒரு நூற்றாண்டுக்குக் குறையாமல் கணித வல்லுனர்களுக்கு அது கைப்புத்தகமாகத் திகழ்ந்தது. 1744இல் அவர் எழுதிய [[மாறுபாடுகளின் நுண்கணிதம்]] (''Calculus of Variations'') அவரை கணிதமேதைகளில் முதல் வகுப்புக்கு ஏற்றியது,

அரசி காத்தரீன் ஆய்லருக்கு அரசமரியாதை செய்து வரவேற்றாள். இதற்கு முன்னமேயே 1760 இல் [[பெர்லின்|பெர்லினில்]] ஆய்லரின் பண்ணையும் சொத்தும் சூறையாடப்பட்டபோது ரஷ்ய-ராணி எலிசபெத் அவருக்கு அளவுக்கு அதிகமாகவே உதவி செய்திருக்கிறாள். ஏறக்குறைய இந்த சமயத்தில்தான் ஆய்லரின் மற்றொரு கண்ணில் காடராக்ட் ஏற்பட்டு சிறிது சிறிதாகக் கண் பார்வை மங்க ஆரம்பித்தது. மீதமிருந்த ஒரே கண்ணின் பார்வையும் போய்விடப் போகிறது என்ற சூழ்நிலையில், ஆய்லர் [[சிலேட்டு|சிலேட்டில்]] பெரிய எழுத்தில் கணித வாய்பாடுகளை கண் மூடியே எழுதிப் பழகினார். பார்வை போனபின்பு அவர் இன்னும் அதிகமாகவே கணித ஆய்வில் ஈடுபட்டார். அவருடைய வியப்பூட்டும் நினைவாற்றலும் இதற்கு உதவி செய்தது.

கணிதத்தில் ஏற்படும் சாதாரண கணக்குகள் தவிர எந்த உயர்மட்ட கணக்குகளையும் அவர் எவ்வளவு தூரம் மனதாலேயே செய்தார் என்பதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஆய்லருடைய இரு மாணவர்கள் ஒரு கடினமான [[ஒருங்குத் தொடரை]] (convergent series) 17 உறுப்புகள் வரையில் கூட்டுத்தொகை கண்டுபிடிக்க முயன்றபோது, இருவர் விடைகளும் 50 வது இலக்கத்தில் ஒரு எண்ணளவு வித்தியாசம் காட்டின. இதை சரிபார்ப்பதற்காக ஆய்லரிடம் வந்தபோது அவர் மனதாலேயே கணிப்பு செய்து சரியான விடையைப் பகர்ந்தார். இந்த சாமர்த்தியமெல்லாம் அவருக்கு கண் போனபோது மிகவும் உதவியது.

V - E + F = 2

என்ற இந்த வாய்பாடு ஒரு சாதாரண [[பன்முகி]]யைப் பற்றியது. V, E, F மூன்றும் முறையே கோண உச்சிகள், விளிம்புகள், முகங்கள் இவைகளுடைய எண்ணிக்கை. இந்த வாய்பாடு அவைகளின் எண்ணிக்கையை மட்டும் கவனிப்பதால், பன்முகியை ரப்பரால் செய்து அதை பலவிதமாகவும் மாற்றி அமைத்தாலும் இவ்வாய்பாட்டில் மாறுதல் ஏற்படாது. கோனிக்ச்பெர்க் பாலப் பிரச்சினையை ஆய்லர் தெளிவாக்கியது போல் இதைத் தெரிந்து கொண்டு தெளிவுபெற்றது தான் இடவியலின் தொடக்கம். [[புவான்காரெ]] காலத்தில் ஏற்பட்டது.

ஆய்லரின் காலம் வரையில், குறிப்பாக [[ஃபெர்மா]] முதலியோர் காலத்தை ஒப்பிட்டால், கணிதமுடிவுகள் அவரவர்களின் ரகசியச் சொத்தாக இருந்து வந்தன. ஆய்லரின் ஏராள பிரசுரங்களில் தன் முடிவுகளை அறிவித்ததோடு மட்டுமல்லாமல், அவைகளை அடைவதற்கு தான் முதலில் எடுத்துக் கொண்ட முயற்சிகளையும், அவை தோல்வியடைந்த விபரங்களையும் அதன் காரண காரியங்களையும் விவரித்து எழுதினார். சில வழிமுறைகள் எவ்விதம் பயனில்லாமல் போயின என்பதை அலசினார். ஏற்கனவே மற்றவர்கள் எழுதிவிட்டுப் போயிருந்த கட்டுரைகளையும் விமரிசித்து பல தவறுகளைத் திருத்தினார். இவைகளுக்கெல்லாம் அவர் காலத்தில் தோன்றிய கணித ஆய்வுப் பத்திரிகைகளும் கழகங்களும் ஒரு காரணமாக விளங்கின. இதைத் தவிர ஆய்லர் கணிதத் துறையின் பல பிரிவுகளின் அன்றைய நிலையைப் பற்றி பொதுக்கட்டுரைகள் பல எழுதினார். கணித உலகத்தில் இவையெல்லாம் புது முன்மாதிரிகளாக அமைந்தன<ref>Heinrich Tietze. Famous Problems of Mathematics. 1965.p.288</ref>.

•R. Parthasarathy. Paths of Innovators. 2000. East West Books (Madras) Pvt. Ltd., Chennai ISBN 81-8685-40-1

•Richard Courant and Herbert Robbins. What is Mathematics? 1941 O.U.P. New York. ISBN 0-19-502517-2 pbk

[[ar:ليونهاردليونهارت أويلر]]