|
:<math> K\backslash G/H = \{KgH: g \in G\}</math>
''G'' இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதன் ஒரேயொரு இரட்டை இணைக்கணத்தின் உறுப்பாக இருக்கும். ஒரு குலத்தின் வல்து மற்றும் இடது இணைக்கணங்கள் ஒவ்வொன்றும் சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். ஆனால் இரட்டை இணைக்கணங்கள் அவ்வாறு சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளுடையவையாக இருக்காது.
''H'' , ''K'' இரண்டில் ஒன்று இயல்நிலை உட்குலமாக இருந்தால்:
* ''K'' இயல்நிலை உட்குலம் மற்றும் ''H'' மிக எளிய உட்குலம் எனில் அவற்றின் இரட்டை இணைக்கணங்கள் ''K'' இன் இடது இணைக்கணங்களாகும்.
எடுத்துக்காட்டு:
''G'' [[சமச்சீர் குலம்]] S_3, அதன் இரு உட்குலங்கள் ''H'' = {(1,2)} , ''K'' = {(1,3)} எனில் அவற்றின் இரட்டை இணைக்கணங்கள்:
{e,(1,2),(1,3),(1,3,2)} மற்றும் {(2,3),(1,2,3)}.
Let H and K be subgroups of a group G. An (H,K)-double coset is a set of the form HxK for some x∈G. Here HxK is defined in the obvious way as
:HxK={hxk∣h∈H and k∈K}.
Note that the (H,{1})-double cosets are just the right cosets of H, and the ({1},K)-double cosets are just the left cosets of K. In general, every (H,K)-double coset is a union of right cosets of H, and also a union of left cosets of K.
The set of all (H,K)-double cosets is denoted H\G/K. It is straightforward to show that H\G/K is a partition of G, that is, every element of G lies in exactly one (H,K)-double coset.
In contrast to the situation with ordinary cosets, the (H,K)-double cosets need not all be of the same cardinality. For example, if G is the symmetric group S3, and H=⟨(1,2)⟩ and K=⟨(1,3)⟩, then the two (H,K)-double cosets are {e,(1,2),(1,3),(1,3,2)} and {(2,3),(1,2,3)}.
Let M be a subgroup of G. We can consider the following three special cases:
:H = M and K is trivial. In this case, the double cosets of H and K are the same as the right cosets of M
::H is trivial and K = M. In this case, the double cosets of H and K are the same as the left cosets of M
H = K = M. In this case, the double cosets of H and K are simply called the double cosets of M.
For a normal subgroup
For a normal subgroup, the notions of left coset, right coset, and double coset are equivalent.
|
