இரட்டை இணைக்கணம்

குலம் G இன் இரு உட்குலங்கள் H மற்றும் K எனில், இரட்டை இணைக்கணம் (double coset) (H,K) என்பது G இல் வரையறுக்கப்பட்ட பின்வரும் சமான உறவு ~ -க்குரிய ஒரு சமானத் தொகுப்பாகும்.

இச் சமான உறவு ~ :

G இன் எவையேனும் இரு உறுப்புகள் x, y எனில்

$hxk=yh\in H;k\in K$ என இருந்தால் $x\sim y$.

ஒவ்வொரு இரட்டை இணைக்கணமும் HxK வடிவில் இருக்கும். G இன் இரட்டை இணைக்கணங்கள் ஒவ்வொன்றும் வலது இணக்கணங்கள் Hy மற்றும் இடது இணைக்கணங்கள் zK ஆகியவற்றின் ஒன்றிப்பாக இருக்கும். இரட்டை இணைக்கணங்களின் கணம்:

$K\backslash G/H=\{KgH:g\in G\}$

G இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதன் ஒரேயொரு இரட்டை இணைக்கணத்தின் உறுப்பாக இருக்கும். ஒரு குலத்தின் வலது மற்றும் இடது இணைக்கணங்கள் ஒவ்வொன்றும் சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். ஆனால் இரட்டை இணைக்கணங்கள் அவ்வாறு சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளுடையவையாக இருக்காது.

H இயல்நிலை உட்குலம் மற்றும் K மிகஎளிய உட்குலம் எனில் அவற்றின் இரட்டை இணைக்கணங்கள் H இன் வலது இணைக்கணங்களாகவும், K இயல்நிலை உட்குலம் மற்றும் H மிக எளிய உட்குலம் எனில் அவற்றின் இரட்டை இணைக்கணங்கள் K இன் இடது இணைக்கணங்களாகவும் அமைகின்றன.