ஒரு கணத்தின் பிரிவினை

கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் பிரிவினை (partition of a set) என்பது அக்கணத்தை ஒன்றுக்கொன்று மேற்படிதல் இல்லாத வெற்றில்லா சிறுசிறு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதாகும். இவ்வாறு பிரிக்கப்பட்ட பகுதிகள் அனைத்தையும் ஒன்று சேர்த்தால் பிரிக்கப்பட்ட முழுக்கணமும் கிடைக்கும். மேலும் அச் சிறுபகுதிகள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று பொது உறுப்புகள் இல்லாதவையாகவும் இருக்கும்.

அஞ்சல் தலைகளின் கணமொன்று சிறுசிறு கட்டுக்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அக்கட்டுகளில் எதுவும் காலியாக இல்லை. மற்றும் எந்தவொரு அஞ்சல் தலையும் இரு கட்டுகளில் இல்லை.

5 உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் 52 பிரிவுகள்

வரையறை

X என்ற கணத்தின் பிரிவினை என்பது X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு x ம் ஒரேயொரு உட்கணத்தில் மட்டும் உள்ளவாறு பிரிக்கப்பட்ட X இன் வெற்றில்லா உட்கணங்களின் கணமாகும்.

பின்வரும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்தால், செய்தால் மட்டுமே P என்ற கணம் X இன் பிரிவினையாக இருக்க முடியும்:

1. P இன் உறுப்புகளில் எதுவும் வெற்றுக் கணம் இல்லை.
2. P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களின் ஒன்றிப்பு, X கணமாகும்.
3. P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களில் எந்த இரு கணங்களின் வெட்டும் வெற்றுக் கணம்.

கணிதக் குறியீட்டில் இந்நிபந்தனைகள்:

1. $\varnothing \notin P$
2. $\bigcup P=X$
3. $(A\in P\land B\in P\land A\neq B)\Rightarrow A\cap B=\varnothing$

இங்கு $\varnothing$ -வெற்றுக் கணம்.

P இன் உறுப்புகள் பிரிவினையின் தொகுதிகள், பகுதிகள் அல்லது சிற்றறைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. P இன் தரம் |X| − |P| (X முடிவுறு கணமாக இருந்தால்).

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ஒவ்வொரு ஓருறுப்பு கணத்திற்கும் ஒரேயொரு பிரிவினைதான் உண்டு.

கணம் {x} இன் ஒரேயொரு பிரிவினை { {x} }.

• வெற்றில்லா கணம் X இற்கு, P = {X} என்பது X இன் மிகஎளிய பிரிவினையாகும் (trivial partition).

• U கணத்தின் ஒரு வெற்றற்ற தகு உட்கணம் A மற்றும் அதன் நிரப்பு கணம் இரண்டும் ({A, U−A}) U இன் பிரிவினையாக அமையும்.

• { 1, 2, 3 } கணத்திற்கு 5 பிரிவினைகள் உண்டு:
  • { {1}, {2}, {3} }. இதனை 1|2|3 எனவும் எழுதலாம்.
  • { {1, 2}, {3} }, அல்லது 12|3.
  • { {1, 3}, {2} }, அல்லது 13|2.
  • { {1}, {2, 3} }, அல்லது 1|23.
  • { {1, 2, 3} }, அல்லது 123

• பின்வருபவை { 1, 2, 3 } கணத்தின் பிரிவினைகள் அல்ல:
  • { {}, {1, 3}, {2} } (இதில் ஒரு உறுப்பு வெற்றுக் கணமாக இருப்பதால்)
  • { {1, 2}, {2, 3} } ( 2, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பகுதிகளில் உள்ளதால்)
  • { {1}, {2} } (எந்தவொரு பகுதியிலும் 3 இல்லாததால்).

பிரிவினையும் சமான உறவும்

கணம் X இல் வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவைப் பொறுத்த சமானப் பகுதிகளின் கணம் X பிரிவினையாக அமையும். மறுதலையாக P of X இன் ஒரு பிரிவு P லிருந்து X இல் ஒரு சமான உறவை வரையறுக்கலாம்:

x , y ஆகிய இரண்டு உறுப்புகள் P இன் ஒரே பகுதியில் அமைந்தால் x ~ y. எனவே சமான உறவு மற்றும் பிரிவினை என்ற இரண்டு கருத்துக்களும் சமானமானவை.

மேற்கோள்கள்

• Brualdi, Richard A. (2004). Introductory Combinatorics (4th edition ). Pearson Prentice Hall. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-13-100119-1. 
• Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-12-622760-8.