சிக்கலெண்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
வரிசை 185:
:<math> z = r \ \operatorname{cis} \ \varphi. \,</math> என எழுதலாம்.
[''குறிப்பு:'' <math> \operatorname{cis} \varphi \,</math> என்பது <math> (\cos \varphi + i\sin \varphi )\,</math> என்பதன் சுருக்கம்]
 
===போலார் வடிவில் பெருக்கல், வகுத்தல், அடுக்கேற்றம்===
[[File:ComplexMultiplication.png|right|thumb|Multiplication of {{math|2 + ''i''}} (blue triangle) and {{math|3 + ''i''}} (red triangle). The red triangle is rotated to match the vertex of the blue one and stretched by [[square root of 5|{{sqrt|5}}]], the length of the [[hypotenuse]] of the blue triangle.]]
 
சிக்கலெண்களில் பெருக்கல், வகுத்தல் மற்றும் அடுக்கேற்றம் ஆகிய செயல்களைச் செய்வது கார்டீசியன் வடிவைவிட போலார் வடிவில் எளியது.
 
தரப்பட்ட இரு சிக்கலெண்கள் {{math|1=''z''<sub>1</sub> = ''r''<sub>1</sub>(cos φ<sub>1</sub> + ''i'' sin φ<sub>1</sub>)}}, {{math|1=''z''<sub>2</sub> =''r''<sub>2</sub>(cos φ<sub>2</sub> + ''i'' sin φ<sub>2</sub>)}} எனில் அவற்றின் பெருக்கல்:
:<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\,</math>
 
அதாவது மேலேயுள்ள இரு சிக்கலெண்களைப் பெருக்குவதால் அவற்றின் மட்டு மதிப்புகள் பெருக்கப்படுகின்றன; அவற்றின் கோணவீச்சுகள் கூட்டப்படுகின்றன.
 
For example, multiplying by {{math|''i''}} corresponds to a quarter-[[turn (geometry)|turn]] counter-clockwise, which gives back {{math|1=''i''<sup>2</sup> = &minus;1}}. The picture at the right illustrates the multiplication of
:<math>(2+i)(3+i)=5+5i. \,</math>
Since the real and imaginary part of {{math|5 + 5''i''}} are equal, the argument of that number is 45 degrees, or π/4 (in [[radian]]). On the other hand, it is also the sum of the angles at the origin of the red and blue triangles are [[arctan]](1/3) and arctan(1/2), respectively. Thus, the formula
:<math>\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} </math>
holds. As the [[arctan]] function can be approximated highly efficiently, formulas like this&mdash;known as [[Machin-like formulas]]&mdash;are used for high-precision approximations of [[pi|π]].
 
Similarly, division is given by
:<math>\frac{z_1}{ z_2} = \frac{r_1}{ r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).</math>
This also implies [[de Moivre's formula]] for exponentiation of complex numbers with integer exponents:
:<math> z^n = r^n\,(\cos n\varphi + i \sin n \varphi).</math>
The {{mvar|n}}th [[Nth root|roots]] of {{mvar|z}} are given by
:<math>\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)</math>
for any integer {{math|''k''}} satisfying {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}}. Here {{radic|''r''|''n''}} is the usual (positive) {{mvar|n}}th root of the positive real number {{mvar|r}}. While the {{mvar|n}}th root of a positive real number {{mvar|r}} is chosen to be the ''positive'' real number {{mvar|c}} satisfying {{math|1=''c''<sup>''n''</sup> = ''x''}} there is no natural way of distinguishing one particular complex {{mvar|n}}th root of a complex number. Therefore, the {{mvar|n}}th root of {{mvar|z}} is considered as a [[multivalued function]] (in {{mvar|z}}), as opposed to a usual function {{mvar|f}}, for which {{math|''f''(''z'')}} is a uniquely defined number. Formulas such as
:<math>\sqrt[n]{z^n} = z</math>
(which holds for positive real numbers), do in general not hold for complex numbers.
 
==மேற்கோள்கள்==
"https://ta.wikipedia.org/wiki/சிக்கலெண்" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது