ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
"கணிதத்தில் '''ஆய்லரின் வா..."-இப்பெயரில் புதிய பக்கம் உருவாக்கப்பட்டுள்ளது |
No edit summary |
||
வரிசை 15:
இயற்பியலாளர் ரிச்சர்டு ஃபேய்ன்மேன் (Richard Feynman) இவ் வாய்ப்பாட்டை "கணிதத்தின் மிக முக்கியமான வாய்ப்பாடு" என அழைத்தார்<ref>{{cite book|first=Richard P.|last= Feynman|title=The Feynman Lectures on Physics, vol. I|publisher=Addison-Wesley|year=1977|isbn=0-201-02010-6|page=22-10}}</ref>.
==சிக்கலெண் கோட்பாட்டில் பயன்பாடு==
[[Image:Euler's formula.svg|thumb
|right]]
[[Image:Euler's Formula c.png|thumb|upright=1.5|Three-dimensional visualization of Euler's formula.]]
''x'' இன் மெய்மதிப்புகளுக்குச் சார்பு ''e''<sup>''ix''</sup> சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டமாக அமைகிறது. ''x'' என்பது அலகு வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியை ஆதியுடன் இணைக்கும் கோட்டிற்கும் மெய் அச்சின் நேர்ப் பகுதிக்கும் இடைப்பட்ட கோணம். இக் கோணம் எதிர்கடிகாரதிசையில், ரேடியன் அலகுகளில் அளக்கப்படுகிறது.
ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் நிறுவல் (கீழே தரப்பட்டுள்ளது) அடுக்குறிச் சார்பு ''e''<sup>''z''</sup> (''z'' ஒரு சிக்கலெண்) மற்றும் sin ''x'', cos ''x'' (''x'' ஒரு மெய்யெண்) ஆகியவற்றைச் சார்ந்துள்ளது.
சிக்கலெண் தளத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியை கார்ட்டீசியன் ஆயகூறுகள் மூலம் குறிக்கலாம். ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு [[கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை|கார்ட்டீசியன் ஆயகூறுகளுக்கும் [[வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை|போலார் ஆயதொலைவுகளுக்கும்]] இடைப்பட்ட தொடர்பாக அமைகிறது. சிக்கலெண்களை போலார் ஆயதொலைவுகளைக் கொண்டு எழுதுவது, சிக்கலெண்களின் அடுக்குகளின் பெருக்கலை எளிதாக்குகிறது.
''z'' ஒரு சிக்கலெண் எனில்:
:<math> z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = r e^{i \phi} \ </math>
:<math> \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = r e^{-i \phi} \ </math>
இதில்:
:<math> x = \mathrm{Re}\{z\} \,</math> மெய்ப் பகுதி
:<math> y = \mathrm{Im}\{z\} \,</math> கற்பனைப் பகுதி
:<math> r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math> ''z'' இன் மட்டு மதிப்பு அல்லது எண்ணளவை
:<math>\phi = \arg z = \,</math> [[atan2]](''y'', ''x'') .
<math>\phi \,</math> ''z''— இன் கோணவீச்சு (argument). அதாவது நேர் ''x'' -அச்சுக்கும் திசையன் ''z'' க்கும் இடைப்பட்ட எதிர்கடிகார திசையில் ரேடியன் அலகுகளில் அளக்கப்பட்ட கோணம்.
இதன் வாயிலாக சிக்கலெண்ணின் [[மடக்கை]]யை வரையறுக்க ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம். இதற்காக மடக்கைச் சார்பானது அடுக்குக்குறிச் சார்பின் [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறு]] என்ற கருத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது.
:<math>a = e^{\ln (a)} \ </math>
:<math>e^a e^b = e^{a + b} \ </math>
இதில் ''a'' , ''b'' இரண்டும் சிக்கலெண்கள்.
:<math> z = |z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi} \ </math> (''z'' ≠ 0).
இருபுறமும் மடக்கை காண:
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi \ .</math>
:<math>\phi</math> ஒரு பன்மதிப்புடையது என்பதால் சிக்கலெண்ணின் மடக்கையும் [[பன்மதிப்புச் சார்பு]] ஆகும்.
==முக்கோணவியலுடன் தொடர்பு==
| |||