டெய்லர் தொடர்

கணிதத்தில் டெயிலர் தொடர் (Taylor series) ஒரு சார்பினை முடிவுறா உறுப்புகளின் தொடராகத் தருகிறது. தொடரின் உறுப்புகள் முறையே ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் அச் சார்பின் தொடர்வகைக்கெழுக்களின் மதிப்புகளாக உள்ளன.

டெயிலர் பல்லுறுப்புக்க்கோவையின் படி அதிகரிக்க அதிகரிக்க அது சரியான சார்பை அணுகும். படத்தில் sin(x) ம் அதன் டெயிலர் தோராயங்கள் காட்டப்பட்டுள்ளன. டெயிலர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் படிகள் முறையே: 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

அடுக்குக்குறிச் சார்பு e^x (நீலம்) மற்றும் அதன் டெயிலர் விரிவின் (0 இல்) முதல் n+1 உறுப்புகளின் கூடுதல். (சிவப்பு).

டெயிலர் தொடரின் கருத்துரு ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் ஜேம்ஸ் கிரகரியால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, 1715 இல் ஆங்கில கணிதவியலாளர் புரூக் டெயிலரால் முறையாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. டெயிலர் தொடர் பூச்சியத்தில் மையப்படுத்தப்பட்டால் அது மெக்லாரின் தொடர் என அழைக்கப்படுகிறது. 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த டெயிலர் தொடரின் சிறப்பு வகையைப் பெரிதும் பயன்படுத்திய ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் காலின் மெக்லாரின் நினைவாக இப்பெயர் இடப்பட்டது.

ஒரு சார்பின் டெயிலர் தொடரிலுள்ள முடிவுறு எண்ணிக்கையான உறுப்புகளை எடுத்துக் கொண்டு அச் சார்பைத் தோராயப்படுத்தலாம். ஒரு சார்பின் டெயிலர் தொடரிலுள்ள முடிவுறு எண்ணிக்கையான உறுப்புகள் டெயிலர் பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும். ஒரு சார்பின் டெயிலர் தொடர் அச் சார்பின் டெயிலர் பல்லுறுப்புக்கோவையின் எல்லை ஆகும் (அவ்வெல்லை காணமுடிந்தால்). ஒரு சார்பின் டெயிலர் தொடர் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் ஒருங்கும் தொடராக இருந்தாலும் கூட, அத் தொடரானது சார்புக்குச் சமமாக அமைவதில்லை. ஒரு திறந்த இடைவெளியில், தனது டெயிலர் தொடருக்குச் சமமாக அமையும் சார்பு பகுமுறைச் சார்பு என அழைக்கப்படும்.

வரையறை

ƒ(x) என்பது ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்பு. a என்ற புள்ளியில் இச் சார்பு முடிவுறா தடவைகள் தொடர்ந்து வகையிடக் கூடியது எனில், இச் சார்பின் டெயிலர் தொடர் கீழ்க்கண்ட அடுக்குத் தொடராக அமையும்:

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

இதனைக் கூடுதல் குறியீட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறு தரலாம்:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

• n! - n இன் தொடர் பெருக்கம்.
• ƒ ⁽ⁿ⁾(a) - a புள்ளியில், சார்பு ƒ இன் n ஆம் வகைக்கெழு.
• ƒ இன் பூச்சிய வரிசை வகைக்கெழு ƒ மற்றும் (x − a)⁰ =1, 0! = 1.
• a = 0 எனில், இத் தொடர் மெக்லாரின் தொடர் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மெக்லாரின் தொடர் அதே பல்லுறுப்புக்கோவைதான்.

a = 0 இல் (1 − x)⁻¹ இன் மெக்லாரின் தொடர் பின்வரும் பெருக்குத் தொடர் ஆகும்:

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!$

எனவே a = 1 இல் x⁻¹ இன் டெயிலர் தொடர்:

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!$

மேலே தரப்பட்ட மெக்லாரின் தொடரைத் தொகையிட்டால் log(1 − x) இன் மெக்லாரின் தொடரைக் காணலாம் (இங்கு log என்பது இயல் மடக்கை):

$-x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!$

இதன்படி, log(x) at a = 1 இல் log(x) இன் டெயிலர் தொடர்:

$(x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,\!$

பொதுமைப்படுத்த a = x₀ இல் log(x) இன் டெயிலர் தொடர்:

$\log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .$

a = 0 இல், அடுக்குக்குறிச் சார்பு e^x இன் டெயிலர் விரிவு:

$1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$