"பொன் விகிதம்" பக்கத்தின் திருத்தங்களுக்கிடையேயான வேறுபாடு

118 பைட்டுகள் சேர்க்கப்பட்டது ,  6 ஆண்டுகளுக்கு முன்
சி
Robot: bar:Goidner Schnitt is a featured article; மேலோட்டமான மாற்றங்கள்
சி (தானியங்கி: 1 விக்கியிடை இணைப்புகள் நகர்த்தப்படுகின்றன, தற்போது விக்கிதரவில் இ...)
சி (Robot: bar:Goidner Schnitt is a featured article; மேலோட்டமான மாற்றங்கள்)
[[Fileபடிமம்:Golden ratio line.svg|right|thumb|225px|பொன் விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு. <math>a+b:a=a:b </math>]]
[[கணிதவியல்|கணிதவியலிலும்]] கலையிலும் எவையேனும் இரு அளவுகளின் கூடுதலுக்கும் அவற்றில் பெரிய அளவுக்குமான [[விகிதம்|விகிதமானது]], பெரிய அளவுக்கும் சிறிய அளவுக்குமான விகிதத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த இரு அளவுகளும் '''பொன் விகிதத்தில்''' (''golden ratio'') அமைந்துள்ளன எனப்படுகின்றன. இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரு [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா]] [[மாறிலி]] [[எண்|எண்ணாகும்]]ணாகும். இதன் தோராயமான மதிப்பு 1.61803398874989.<ref name=quadform/> பொன் விகிதத்தின் குறியீடு [[கிரேக்கம்|கிரேக்க]] மொழியின் சிறிய எழுத்து (<math>\varphi</math>) (phi).
:(இவ்வெழுத்தின் [[பெருக்கல் நேர்மாறு|தலைகீழி]] <math>\frac{1}{\varphi}</math> அல்லது <math>\varphi^{-1}</math> = <math>\Phi</math> (Phi).இது கிரேக்க மொழியின் பெரிய எழுத்து.)
 
வடிவவியலில் அதிகமாக பொன் விகிதம் காணப்படுவதால் பண்டையக் கிரேக்கர்கள் இது பற்றி ஆய்வுகள் செய்துள்ளனர். ஒழுங்கு நட்சத்திர ஐங்கோணம் மற்றும் ஒழுங்கு ஐங்கோணம் பற்றிய வடிவவியலில் ஒரு [[கோடு|கோட்டை]] முடிவு மற்றும் இடை விகிதத்தில் பிரிப்பது முக்கியமானதாக அமைகிறது. இக் கருத்துருவை பித்தாகரஸ் அல்லது அவரைப் பின்பற்றுவோர் கண்டுபிடித்திருக்க வேண்டுமென கிரேக்கர்கள் நம்புகின்றனர். ஒழுங்கான ஐங்கோணத்தை உள்ளடக்கிய ஒழுங்கான நட்சத்திர ஐங்கோண வடிவம் பித்தாகோரியர்களின் சின்னமாக உள்ளது.
 
== கணக்கிடுதல் ==
''a'' மற்றும் ''b'' -இரண்டும் பொன் விகிதத்தில் அமைந்திருந்தால்:
 
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots</math>.
 
== கணிதத்தில் ==
=== பொன் விகிதத்தின் இணை ===
'''φ''' -ன் இருபடிச் சமன்பாட்டின் எதிர்த் தீர்வு (இணையியத் தீர்வு):
 
0.61803... : 1 = 1 : 1.61803....
 
=== மாற்று வடிவங்கள் ===
* ''φ'' = 1 + 1/''φ'' -சமன்பாட்டை மீள்வரு முறையில் விரித்து பொன் விகிதத்தினை [[தொடரும் பின்னம்|தொடரும் பின்னவடிவில்]] பெறலாம்:<ref>{{Cite book| title = Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme
| author = Max. Hailperin, Barbara K. Kaiser, and Karl W. Knight | publisher = Brooks/Cole Pub. Co | year = 1998 | isbn = 0-534-95211-9 | url = http://books.google.com/?id=yYyVRueWlZ8C&pg=PA63&dq=continued-fraction+substitute+golden-ratio }}</ref>
:<math>\varphi = [1; 1, 1, 1, \dots] = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>
 
* <math>\varphi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \dots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>
 
* ''φ''<sup>2</sup> = 1 + ''φ'' சமன்பாட்டிலிருந்து பொன் விகிதத்தை தொடர்ச்சியான வர்க்கமூல (முடிவுறா விகிதமுறா மூலம்) வடிவில் பெறலாம்:
இவற்றிலிருந்து ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் [[மூலைவிட்டம்|மூலைவிட்டத்தின்]] [[நீளம்|நீளமானது]] அதன் பக்கத்தின் நீளத்தைப்போல் φ மடங்கு என்பதையும் ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திர வடிவத்தில் இதுபோன்ற தொடர்புகளையும் அறியலாம்.
 
=== வடிவவியல் ===
==== ஒரு கோட்டுத்துண்டை பொன் விகிதத்தில் பிரித்தல் ====
ஒரு [[கோட்டுத்துண்டு|கோட்டுத்துண்டை]] பின்வரும் [[வடிவவியல்|வடிவியல்]] வரைமுறையில் பொன் விகிதத்தில் பிரிக்கலாம்:
[[Fileபடிமம்:Goldener Schnitt Konstr beliebt.svg|right|thumb|250px|ஒரு கோட்டுத்துண்டை பொன் விகிதத்தில் பிரித்தல்.]]
 
* தரப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு AB -க்குச் செங்குத்தாகவும் அதன் நீளத்தில் பாதியாகவும் உள்ள கோட்டுத்துண்டு BC வரைய வேண்டும். [[செம்பக்கம்]] AC வரைய வேண்டும்.
இப்புள்ளி S, கோட்டுத்துண்டு AB -ஐ பொன் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
 
==== பொன் முக்கோணம் ====
[[Fileபடிமம்:Golden triangle (math).svg|right|thumb|[[பொன் முக்கோணம்]]]]
[[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|இருசமபக்க முக்கோணம்]] ABC -ல் கோணங்கள் B, C இரண்டும் சமம்.
 
இதேபோல் பெரிய முக்கோணம் AXC-ன் பரப்பிற்கும் சிறிய முக்கோணம் CXB -ன் பரப்பிற்கும் உள்ள விகிதம் '''1/φ''' (Φ). இவ்விகிதத்தில் முக்கோணங்களின் வரிசையை மாற்றக் கிடைக்கும் விகிதம் '''φ - 1.'''
 
==== ஐங்கோணம் ====
 
ஒரு ஒழுங்கு [[ஐங்கோணம்|ஐங்கோணத்தின்]] ஒரு பக்கத்திற்கும் ஒரு மூலைவிட்டத்திற்குமுள்ள விகிதம் 1/φ. இதன் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் விகிதம் பொன் விகிதம் ஆகும்.
 
==== ஓடோமின் வரைமுறை ====
[[Fileபடிமம்:Odom.svg|thumb|218 px|<center><math>\tfrac{|AB|}{|BC|}=\tfrac{|AC|}{|AB|}=\phi</math></center>]]
[[அமெரிக்க ஐக்கிய நாடுகள்|அமெரிக்க]] கலைஞரும் வடிவவியல் கணித அறிஞருமான ''ஜார்ஜ் ஓடம்'' ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|சமபக்க முக்கோணத்தைப்]] பயன்படுத்தி ''φ'' -ஐக் காண ஒரு எளிமையான வழியைக் கண்டுபிடித்துள்ளார்:
 
* இரு நடுப்புள்ளிகள் மற்றும் வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளி, இம்மூன்றும் பொன் விகிதத்தில் அமையும்.
 
==== ஐந்துமுனை நட்சத்திர வடிவம் ====
[[Fileபடிமம்:Pentagram-phi.svg|right|thumb|ஒரு ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திர வடிவின் வெவ்வேறு நீளங்களுடைய கோட்டுத்துண்டுகளை வேறுபடுத்துவதற்காக வெவ்வேறு நிறங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளன. நான்கு நீளங்களும் ஒன்றுக்கொன்று பொன் விகிதத்தில் உள்ளன.]]
ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திரங்களின் வடிவியலில் பொன் விகிதம் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. விளிம்புகளின் ஒவ்வொரு வெட்டும் பிற விளிம்புகளை பொன் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. மேலும் சிறிய துண்டின் நீளத்திற்கும் இரு வெட்டும் விளிம்புகளுகளால் அடைபடும் துண்டிற்குமுள்ள விகிதம் φ ஆகும். (நட்சத்திர வடிவின் நடுவிலுள்ள ஐங்கோணத்தின் ஒரு பக்கம்).
 
இந்த நட்சத்திர வடிவில் 10 இருசமபக்க முக்கோணங்கள் (5 குறுங்கோண இருசமபக்க முக்கோணங்கள், 5 விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணங்கள்) உள்ளன. இவை எல்லாவற்றிலும் பெரிய பக்கத்திற்கும் சிறிய பக்கத்திற்குமுள்ள விகிதம் φ. 5 குறுங்கோண இருசமபக்க முக்கோணங்களும் பொன் முக்கோணங்கள். 5 விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணங்களும் பொன் நோமோன்கள் (golden gnomons).
 
==== டாலமியின் தேற்றம் ====
[[Fileபடிமம்:Ptolemy Pentagon.svg|thumb|டாலமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஓர் ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தில் பொன் விகிதத்தைக் கணக்கிடலாம்.]]
ஓர் ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் பொன் விகிதப் பண்புகளை, அதன் ஒரு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சியை]] நீக்கினால் கிடைக்கும் [[நாற்கரம்|நாற்கரத்தில்]] ''டாலமியின் தேற்றத்தைப்'' பயன்படுத்திக் காணலாம். நாற்கரத்தின் பெரிய விளிம்பும் மூலைவிட்டங்களும் ''b'', மற்றும் சிறிய விளிம்பு ''a'' எனில் டாலமியின் தேற்றத்தின்படி:
 
:<math>{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}</math>.
 
== மேற்கோள்கள் ==
{{reflist}}
 
== வெளி இணைப்புகள் ==
* [http://demonstrations.wolfram.com/GoldenSection/ "Golden Section"] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
* [http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html "The Myth That Will Not Go Away"] Mathematical Association of America 2007
| date =
}} Information and activities by a mathematics professor.
* [http://web.archive.org/web/20071105084747/http://www.contracosta.cc.ca.us/math/pentagrm.htm The Pentagram & The Golden Ratio]. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
 
[[பகுப்பு:வடிவவியல்]]
 
{{Link FA|bar}}
44,078

தொகுப்புகள்

"https://ta.wikipedia.org/wiki/சிறப்பு:MobileDiff/1667292" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது