கூட்டுகை: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
வரிசை 53:
==வரையறுத்த
கூட்டுத்தொகைகளுக்கும் தொகையீடுகளுக்கும் இடைப்பட்ட கீழுள்ள தொடர்புகள் மூலம் பல தோராயப்படுத்தல்களைச் செய்ய முடியும்:
வரிசை 61:
[[ஓரியல்புச் சார்பு|குறையும் சார்பு]] ''f'' எனில்:
:<math>\int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds.</math>
== முற்றொருமைகள் ==
: <math>\sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n)</math>, where ''C'' is a constant
: <math>\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) + g(n)\right]</math> <math>\;</math><!--Invisible text to force left indentation-->
: <math>\sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \left[f(n) - g(n)\right]</math> <math>\;</math>
: <math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p) </math> <math>\;</math>
: <math>\sum_{n\in B} f(n) = \sum_{m\in A} f(\sigma(m))</math>, σ ஒரு [[இருவழிக்கோப்பு]]
: <math>\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math> <math>\;</math>
: <math>\sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} = \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j}</math> <math>\;</math>
: <math>\sum_{k\le j \le i\le n} a_{i,j} = \sum_{i=k}^n\sum_{j=k}^i a_{i,j} = \sum_{j=k}^n\sum_{i=j}^n a_{i,j}</math> <math>\;</math>
<!--
: <math>\sum_{i=m+k}^n\sum_{j=m}^{i-k} a_{i,j} = \sum_{j=m}^{n-k}\sum_{i=j+k}^n a_{i,j}</math> <math>\;</math> (a generalization of the previous identity)
-->
: <math>\sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n)</math> <math>\;</math>
: <math>\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\cdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\cdot t+z-1} f(n)</math> <math>\;</math>
: <math>\sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j</math> <math>\;</math>
: <math>\sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n)</math> <math>\;</math>
: <math>c^{\left[\sum_{n=s}^t f(n) \right]} = \prod_{n=s}^t c^{f(n)}</math> <math>\;</math>
: <math>\left(\sum_{k=0}^{n} a_k\right) \cdot \left(\sum_{k=0}^{n} b_k\right)=\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i} - \sum_{k=0}^{n-1} \left(a_k \sum_{i=n+1}^{2n-k}b_i +b_k \sum_{i=n+1}^{2n-k} a_i\right)</math>
=== Some summations of polynomial expressions ===
: <math>\sum_{i=m}^n 1 = n+1-m</math> <math>\,</math>
: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n</math> (See [[Harmonic number]])
: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n</math> (See [[Harmonic number#Generalized harmonic numbers|Generalized harmonic number]])
: <math>\sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2}</math> (see [[கூட்டுத் தொடர்]])
: <math>\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}</math> (Special case of the arithmetic series)
: <math>\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}</math> (see [[சதுர பிரமிடு எண்]])
: <math>\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2</math> <math>\,</math>
: <math>\sum_{i=0}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}</math> <math>\,</math>
: <math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1},</math>
where <math>B_k</math> denotes a [[Bernoulli number]] (see [[Faulhaber's formula]]).
The following formulae are manipulations of
: <math>\sum_{i=0}^n i^3 = \left(\sum_{i=0}^n i\right)^2</math>
generalized to begin a series at any natural number value (i.e., <math>m \in \mathbb{N}</math> ):
: <math>\left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 = \sum_{i=m}^n ( i^3 - im(m-1) )</math> <math>\,</math>
: <math>\sum_{i=m}^n i^3 = \left(\sum_{i=m}^n i\right)^2 + m(m-1)\sum_{i=m}^n i</math> <math>\,</math>
==குறிப்புகள்==
| |||