அதிபரவளைவு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி தானியங்கி: 49 விக்கியிடை இணைப்புகள் நகர்த்தப்படுகின்றன, தற்போது விக்கிதரவில் இ... |
சி adding unreferened template to articles |
||
வரிசை 1:
{{சான்றில்லை}}
[[File:Conic sections 2n.png|thumb|300px|right|கூம்பு வெட்டுகள்: பரவளையம், நீள்வட்டம் மற்றும் அதிபரவளையம்]]
[[கணிதவியல்|கணிதவியலில்]] '''அதிபரவளைவு''' (''Hyperbola'') என்பது, ஒருவகைக் [[கூம்பு வெட்டு]] ஆகும். இது ஒரு இரட்டை [[கூம்பு|நேர்வட்டக் கூம்பின்]] இரு பாதிகளையும் ஒரு [[தளம் (வடிவவியல்)|தளம்]] வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகமாகும். [[பரவளையம்]] மற்றும் [[நீள்வட்டம்]] காண்பதற்கு ஓர் தளத்தால் இரட்டைக் கூம்பின் ஒரு பாதியை மட்டும் வெட்டினால் போதும்.
நிலையான இரண்டு [[புள்ளி]]களிலிருந்து உள்ள தூரங்களின் வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பு மாறிலியாக உள்ளவாறு இயங்கும் புள்ளியின் [[இயங்குவரை|ஒழுக்கு]] அதிபரவளைவு ஆகும் எனவும் இதற்கு [[வரையறை|வரைவிலக்கணம்]] கூறலாம். மேற்குறித்த நிலையான புள்ளிகள் இரண்டும் அதிபரவளைவின் [[குவியம் (வடிவவியல்)|குவியங்கள்]] எனப்படும். முன்னர் குறிப்பிட்ட நிலையான தூர வித்தியாசம், அதிபரவளைவின் மையத்துக்கும், அதன் [[உச்சி (வளைவரை)|உச்சியொன்றுக்கும்]] இடையிலான தூரத்தின் (a) இரண்டு மடங்கு (2a) ஆகும்.
தளத்தில் ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து (குவியம்) உள்ள தூரம் மற்றும் ஒரு நிலையானக் கோட்டிலிருந்து (இயக்குவரை) அமையும் தூரம் இவை இரண்டின் [[விகிதம்]] [[மாறிலி]]யாகவும் அம்மாறிலியின் மதிப்பு 1 -ஐ விட அதிகமானதாகவும் உள்ளவாறு நகரும் புள்ளியின் [[இயங்குவரை]]யாகவும் அதிபரவளைவு வரையறுக்கப்படுகிறது.
அதிபரவளைவின் ஆங்கிலப் பெயரான "hyperbola" மிகுதியான என்ற பொருள் கொண்ட {{lang|grc|ὑπερβολή}} -கிரேக்கச் சொல்லில் இருந்து உருவானது. கிரேக்க [[கணிதவியலாளர்]] ''அப்பலோனியசால்'' (கிமு 262 - கிமு 190) கூம்பு வெட்டுக்களைப் பற்றிய அவரது படைப்பான (''Conics'') இல் இப்பெயர் பயன்படுத்தப்பட்டதாகக் கருத்து நிலவுகிறது.
அதிபரவளையம் [[கார்ட்டீசியன் தளம்|காட்டீசியன் தளத்தில்]]
:<math>A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>
வரி 17 ⟶ 18:
==அதிபரவளைவின் கூறுகள்==
[[File:Hyperbola properties.svg|right|frame|அதிபரவளையத்தின் (சிவப்பு) அணுகு கோடுகள் (நீலப் புள்ளிக்கோடுகள்) சந்திக்கும் புள்ளி ''C'' மையம். குவியங்கள் '''F'''<sub>1</sub> மற்றும் '''F'''<sub>2</sub>. குவியங்களை இணைக்கும் மெல்லிய கோடு குறுக்கு அச்சு. மையத்தின் வழியே குறுக்கச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ள மெல்லிய கோடு துணை அச்சு. துணை அச்சிற்கு இணையாக உள்ள தடித்த இரு கருப்புக் கோடுகள் இயக்குவரைகள் ''D''<sub>1</sub> மற்றும் ''D''<sub>2</sub>.]]
[[பரவளையம்|பரவளைவைப்]] போன்று அதிபரவளையமும் திறந்த வளைவரையாகும். அதிபரவளைவின் வளைவரை பிரிக்கப்பட்ட சமச்சீரான இரு கிளைப்பகுதிகள் உடையது.
'''உச்சி'''
வரி 34 ⟶ 35:
தளத்தில் அமையும் ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்து உள்ள தூரம் மற்றும் ஒரு நிலையான கோட்டிலிருந்து அமையும் தூரம் இவை இரண்டின் [[விகிதம்]] எப்பொழுதும் [[மாறிலி]]யாக உள்ளவாறு இயங்கும் புள்ளியின் [[இயங்குவரை]]யாக அதிபரவளையம் வரையறுக்கப்படுவதில்,
இந்த நிலையான புள்ளி அதிபரவளையத்தின் குவியம் எனப்படும். சமச்சீர்த்தன்மையால் அதிபரவளையத்திற்கு இரு ''குவியங்கள்'' உள்ளன. இவை அதிபரவளைவின் மையத்திலிருந்து சமதூரத்தில், குறுக்கச்சின் மீது, உச்சிகளின் மறுபக்கங்களில் அமைந்த இரு புள்ளிகளாகும். இவை ''F<sub>1</sub>'' மற்றும் ''F<sub>2</sub>'' எனக் குறிக்கப்படுகின்றன.
அதிபரவளைவின் மீதமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளிக்கும் இவ்விரு குவியங்களுக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் வித்தியாசம் மாறிலியாகவும் அம்மாறிலி குறுக்கச்சின் நீளத்திற்குச் சமமானதாகவும் இருக்கும்.
<math>|PF_1 - PF_2| = 2a </math>.
வரி 46 ⟶ 47:
'''வட்ட விலகல்'''
மேலே குவியத்தில் கூறப்பட்டுள்ள வரையறையின் மாறிலி அதிபரவளையத்தின் வட்டவிலகல் எனப்படும். இதன் மதிப்பு எப்பொழுதும் ஒன்றைவிட அதிகமானதாக இருக்கும்.
வட்ட விலகலின் குறியீடு:
வரி 60 ⟶ 61:
'''அணுகுகோடுகள்'''
மையத்திலிருந்து தூரமாகச் செல்லச் செல்ல அதிபரவளையமானது அதன் மையத்தில் வெட்டிக்கொள்ளும் இரு கோடுகளை நோக்கி அணுகிக் கொண்டே செல்கிறது. அக்கோடுகள் அதிபரவளையத்தின் [[அணுகுகோடு]]கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. மையத்திலிருந்து தூரம் அதிகரிக்க அதிகரிக்க அதிபரவளையத்திற்கும் அணுகுகோடுகளுக்கும் இடையேயுள்ள தூரம் கணிசமாகக் குறைந்து கொண்டேயிருக்கிறது. ஆனால் அதிபரவளையம் அணுகுகோடுகளை ஒருபோதும் சந்திப்பதில்லை.
அதிபரவளையத்தின் குறுக்கச்சை [[கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை]]யின் ''x''-அச்சின் மீது எடுத்துக் கொண்டால் அணுகுகோடுகளின் [[சாய்வு]]கள் அளவில் சமமாகவும் குறியில் எதிரானதாகவும் இருக்கும்:
:
<math>\pm \frac{b}{a}</math>
குறுக்கச்சுக்கும் அணுகுகோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட [[கோணம்]] θ எனில்:
:<math> \tan\theta = \pm \frac{b}{a}</math>
வரி 136 ⟶ 137:
[[File:Rectangular hyperbola.svg|thumb|200px| [[தலைகீழி]]ச் சார்பு<math>y=\tfrac{1}{x}</math>, செவ்வக அதிபரவளையத்தின் வரைபடம்]]
ஒரு அதிபரவளையத்தின் குறுக்கச்சின் நீளமும் துணையச்சின் நீளமும் சமம் (b = a) எனில், அதன் அணுகு கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் 2θ = 90°. இத்தகைய அதிபரவளையம் செவ்வக அதிபரவளையம் எனப்படும்.
ஆதியை மையமாகவும் ஆய அச்சுக்களை அணுகுகோடுகளாகவும் கொண்ட செவ்வக அதிபரவளையத்தின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாடு:
வரி 145 ⟶ 146:
*ஒரு [[கோடு]] அதிபரவளையத்தின் ஒருகிளையை M மற்றும் N புள்ளிகளிலும் [[அணுகுகோடு]]களை P மற்றும் Q புள்ளிகளிலும் சந்தித்தால், [[கோட்டுத்துண்டு]]கள் MN மற்றும் PQ ஆகிய இரண்டின் நடுப்புள்ளிகளும் ஒன்றாக இருக்கும்.<ref name=web4>[http://mathafou.free.fr/themes_en/hyperb.html]</ref><ref name=Spain/>{{rp|p.49,ex.7}}
*பின்வருபவை ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும்:
வரிசை 159:
*அதிபரவளையத்தின் மீது அமையும் ஒரு புள்ளி P இலிருந்து ஒரு அணுகு கோட்டிற்கு, மற்றொரு அணுகு கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் வழியே அமையும் செங்குத்து தூரம் மற்றும் இரண்டாவது அணுகு கோட்டிற்கு முதல் அணுகு கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் வழியே அமையும் செங்குத்து தூரம் ஆகிய இவை இரண்டின் பெருக்குத் தொகை, புள்ளி P அதிபரவளையத்தின் மேல் அமையும் இடத்தைச் சார்ந்ததல்ல.<ref name=web1/>
*அதிபரவளையத்தின் மீது அமையும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து அதன் இரு உச்சிகளுக்கு வரையப்படும் கோடுகளின் சாய்வுகளின் பெருக்குத்தொகை அப்புள்ளி அதிபரவளையத்தின் மீது அமையும் இடத்தைச் சார்ந்ததல்ல.<ref name=web2>[http://home.scarlet.be/~ping1339/hyperbola.htm#Geometric-property-o]</ref>
*அதிபரவளையத்தின் ஒரு [[தொடுகோடு]] தொடுகோட்டிற்கும் அதன் இரு அணுகுகோடுகளுக்கும் இடைப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளியாகத் தொடுகோட்டின் தொடுபுள்ளி அமையும்.<ref name=Spain>Spain, Barry. ''Analytical Conics''. Dover Publ., 2007.</ref>{{rp|p.49,ex.6}}<ref name=web2/><ref name=web3>[http://www.nabla.hr/Z_Pre-CalculusHyperbolaAndLine_3.htm]</ref>
*அதிபரவளையத்தின் ஒரு தொடுகோடு மற்றும் அதன் இரு அணுகுகோடுகளால் அடைபடும் முக்கோணத்தின் பரப்பு தொடுபுள்ளி அமையும் இடத்தைச் சார்ந்ததல்ல.<ref name=Spain/>{{rp|p.49,ex.6}} இம்முக்கோணத்தின் பரப்பு ''ab'' (''a'' அரைக் குறுக்கச்சின் நீளம், ''b'' அரைத் துணையச்சின் நீளம்).<ref name=web3/>
*அதிபரவளையத்தின் ஏதாவது ஒரு குவியத்திற்கும் ஒரு அணுகுகோட்டிற்கும் இடையே உள்ள தூரம் ''b'' (அரைத் துணையச்சின் நீளம்); குவியத்திலிருந்து அணுகோட்டின் மேல் அமையும் மிக அருகாமையில் அமையும் புள்ளி, அதிபரவளையத்தின் மையத்திலிருந்து ''a'' (அரைக் குறுக்கச்சின் நீளம்) அலகு தூரத்தில் இருக்கும்..<ref name=web4/> இவ்விரு கோட்டுத்துண்டுகளையும் தாங்கிப் பக்கங்களாகக் கொண்ட செங்கோணமுக்கோணத்தில் [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தாகரசு தேற்றப்படி]],
:<math> a^2 + b^2 =c^2 </math>, இங்கு ''c'' என்பது அதிபரவளையத்தின் மையத்திற்கும் குவியத்துக்கும் இடைப்பட்டதூரம்.
| |||