காமா சார்பியம்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சிறு விரிவு |
சிறு விரிவு. மேலும் விரிவு செய்யப்படும் |
||
வரிசை 11:
=== முதன்மையான வரையறை ===
{{math|Γ(''z'')}} என்னும் குறியீடு [[இலெகந்தர்]]( Legendre) என்பாரால் வழங்கப்பெற்றது<ref name="Davis">{{cite journal|last=Davis |first=P. J. |date=1959 |title=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=66 |issue=10 |pp=849–869 |url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 |access-date=3 December 2016 |doi=10.2307/2309786}}</ref> {{math|''z''}} என்னும் ஒரு சிக்கெலெண்ணின் மெய்யெண் பகுதி நேர்ம எண்ணாக இருந்தால் ({{math|Re(''z'') > 0}}), தொகையீடு
:<math> \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx</math>
முற்றாகக் குவிந்தடையும் (converges absolutely) ஒன்றாகும்; இது [[ஆய்லரின் இரண்டாம் வகைத் தொகையீடு]] என்று அறியப்படுகின்றது (ஆய்லரின் முதல்வகைத் தொகையீடு என்பது பீட்டா சார்பியம் ஆகும்) .<ref name="Davis" /> பகுதியாக செய்யப்படும் தொகையீட்டு முறைப்படி கீஃஜ்க்கண்டவாறு அறியலாம்:
:<math>
\begin{align}
\Gamma(z+1) & = \int_0^\infty x^{z} e^{-x} \, dx \\
& = \left[-x^z e^{-x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty z x^{z-1} e^{-x}\, dx \\
& = \lim_{x\to \infty}(-x^z e^{-x}) - (0 e^{-0}) + z\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx
\end{align}
</math>
: <math>x\to \infty </math> ஆக <math>-x^z e^{-x}\to 0,</math>
:<math>
\begin{align}
\Gamma(z+1) & = z\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx \\
& = z\Gamma(z)
\end{align}
</math>
<math>\Gamma(1)</math> என்பதைக் கணக்கிடலாம்:
:<math>
\begin{align}
\Gamma(1) & = \int_0^\infty x^{1-1} e^{-x}\,dx \\
& = \left[-e^{-x}\right]_0^\infty \\
& = \lim_{x\to \infty}(-e^{-x}) - (-e^{-0}) \\
& = 0 - (-1) \\
& = 1
\end{align}
</math>
<math>\Gamma(1) = 1</math> என்னும் உண்மையையும் <math>\Gamma(n+1) = n\Gamma(n) </math> என்பதையும் கருத்தில் கொண்டால்,
:<math>\Gamma(n) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) = (n-1)!\,</math>
என்பது எல்லா <math>n</math> நேர்ம எண்களுக்கும் பொருந்தும். இதனை அடுத்துத்தூண்டல் நிறுவல் (proof by induction) முறை எனக் கொள்ளலாம்.
முற்றொருமையான <math>\Gamma(z) = \frac {\Gamma(z + 1)} {z}</math> என்பதைப் பயன்படுத்தி <math>\Gamma(z)</math> சார்பியத்தை தொகையீட்டு அமைப்பில்
சுழியமாகவோ அதற்கும் கீழானதாகவோ இல்லாத <math>z</math> என்னும் எல்லாச் சிக்கலெண்ணுக்கும் பொருந்துமாறு [[பேரோவுருவ சார்பியம்|மேரோவுருவ சார்பியமாக]]<ref>meros (μέρος) என்னும் கிரேக்கச்சொல்லின் பொருள் ''பகுதி" (part))</ref> நீட்சி பெறச் செய்யலாம். <ref name="Davis" />
இந்த நீட்சிபெற்ற பார்வையிலும் வடிவத்திலும்தான் பொத்வாக காமா சார்பியம் என அறியப்படுகின்றாது<ref name="Davis" />.
== அடிக்குறிப்புகளும் மேற்கோள்களும் ==
{{Reflist|30em}}
| |||