முக்கோண எண்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி added Category:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள் using HotCat |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 1:
[[File:First six triangular numbers.svg|thumb|முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள்.]]
[[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''முக்கோண எண்''' (''triangular number'') என்பது [[வடிவ எண்]]களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில் உள்ளவாறு, ஒரு '''முக்கோண எண்''' என்பது ஒரு சமபக்க [[முக்கோணம்|முக்கோண]] வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தத்தக்க ஒரு [[எண்]]ணாகும். (மரபின்படி, முதலாவது முக்கோண எண் 1 ஆகும்.) ''n'' -ஆம் முக்கோண எண் என்பது ஒரு பக்கத்திற்கு ''n'' புள்ளிகளெனக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் மொத்தப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும். ஒவ்வொரு வரிசையும் அதற்கு முன்னுள்ள வரிசையைக்காட்டிலும் ஒரு அலகு கூடுதலாக உள்ளது. இதன் மூலம் முதல் முக்கோண எண் 1; இரண்டாம் முக்கோண எண் 1+ 2 = 3; மூன்றாம் முக்கோண எண் 1 + 2 + 3 = 6;.... என [[இயல் எண்]] களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒவ்வொரு முக்கோண எண்ணும் அமைவதைக் காணலாம். ''n'' -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதலுக்குச்]] சமமாக இருக்கும்.
முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை {{OEIS|id=A000217}}:
வரிசை 9:
:<math>T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}</math>
வலது இறுதியில் உள்ளது ஒரு [[ஈருறுப்புக் கெழு]]. இக்கெழு, ''n'' + 1 பொருள்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய சோடிகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கலில்]] உள்ள [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர் பெருக்கத்தைப்]] போன்றவை கூட்டலுக்கு முக்கோண எண்கள். தொடர் பெருக்கம் ''n'' !, 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் பெருக்கலுக்குச் சமம். முக்கோண எண் <math>T_n, </math> 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
ஒவ்வொரு [[புள்ளி]]யையும் இணைத்து வரையக் கூடிய [[கோடு]]களின் எண்ணிக்கையைப் பின்வரும் வாய்ப்பாடு மூலம் காணலாம்:
வரிசை 27:
முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.
எடுத்துக்காட்டுகள்:
* அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ஒரு [[வர்க்க எண்]] ([[சதுர எண்]]). இக்கூடுதலின் மதிப்பு, இந்த இரு முக்கோண எண்களின் வித்தியாசத்தின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கமாகும்]].
வரிசை 53:
:<math>T_n^2= \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+3^3+ \dotsb +n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 </math>
* 1 முதல் ''n'' வரையிலான முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ''n'' ஆம் [[நான்முக எண்]]ணாகும்.
:<math> T_1 + T_2+T_3 +....+T_n = \frac {(n)(n+1)(n+2)} {6}.</math>
* பொதுவாக, ''n'' -ஆம் ''m'' -[[பல்கோண எண்|பலகோண எண்]] மற்றும் ''n'' -ஆம் (''m'' + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (''n'' – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.
எடுத்துக்காட்டு:
: ஆறாம் [[எழுகோண எண்]] = 81. ஆறாம் [[அறுகோண எண்]] = 66
: இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு [[மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்]]ணையும் காணமுடியும்.
''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட ''k''-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:
வரி 69 ⟶ 68:
:<math>Ck_n = kT_{n-1}+1.\ </math>
: இங்கு <math>T_(n-1) </math> -முக்கோண எண்;
:<math>Ck_n </math> -''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட ''k''-கோண எண்.
வரி 82 ⟶ 81:
* {{MathWorld|urlname=TriangularNumber|title=Triangular Number}}
*[http://vihart.com/blog/gauss/ Triangular numbers via 12 days of Christmas] by [[Vi Hart]]
== இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
வரி 88 ⟶ 86:
* [[பல்கோண எண்]]
* [[முக்கோண சதுர எண்]]
[[பகுப்பு:எண்கள்]]
| |||