பின்னம்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
பிழைதிருத்தம்
அடையாளங்கள்: Visual edit கைப்பேசியில் செய்யப்பட்ட தொகுப்பு கைப்பேசி வலைத்தளத்தில் செய்யப்பட்ட தொகுப்பு
சி பராமரிப்பு using AWB
வரிசை 1:
[[File:Pie chart example 04.svg|240px|மூன்றேமுக்கால்-இதில் முக்கால் என்பது பின்னம்|thumb|right]]
'''பின்னம்''' (''fraction'') என்பது முழுப்பொருள் ஒன்றின் பகுதி அல்லது பகுதிகளைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொருளை நான்கு சமப் பங்குகளாகப் பிரித்தால், அதில் 3 பங்குகள் (அதாவது நான்கில் மூன்று பங்கு) 3/4 எனக் குறிக்கப்படும்.
 
பின்ன அமைப்பில், கிடைக்கோட்டிற்குக் கீழுள்ள எண் ''பகுதி'' எனவும், மேலுள்ள எண் ''தொகுதி'' எனவும் அழைக்கப்படும். எடுத்துக்கொள்ளப்படும் சம பங்குகளின் எண்ணிக்கையைத் தொகுதியும், எத்தனை சம பங்குகள் சேர்ந்து முழுப்பொருளாகும் என்பதைப் பகுதியும் குறிக்கின்றன. ஒரு பின்னத்தின் பகுதி பூச்சியமாக இருக்க முடியாது.
 
எடுத்துக்காட்டு:
ஒரு முழுப்பொருளானது நான்கு சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், அதிலுள்ள மூன்று சம பங்குகள் 3/4 எனக் குறிக்கப்படும். இப்பின்னத்தின் தொகுதி - 3, பகுதி - 4.
 
பின்னமானது ''பிள்வம் அல்லது பிள்ளம்'' என்றும் அழைக்கப்படும். தமிழில் இதற்குக் ''கீழ்வாய் எண்கள்'' என்பது பெயர்.
 
பின்ன எண்களைத் தொகுதி-பகுதி வடிவில் மட்டுமல்லாது, தசம பின்னங்களாக, சதவீதங்களாக, எதிர்ம அடுக்கேற்ற எண்களாகவும் எழுதலாம்.
 
எடுத்துக்காட்டு,
 
:1/100 என்ற பின்ன எண்ணின் மாற்று வடிவங்கள்: 0.01, 1%, 10<sup>−2</sup>
 
எந்தவொரு முழுஎண்ணையும், பகுதி 1 ஆகக் கொண்ட பின்னமாகக் கொள்ளலாம்: 7 = 7/1.
வரிசை 20:
</ref> 3/4 என்பது 3:4 என்ற விகிதத்தையும், 3 ÷ 4 என்ற வகுத்தலையும் குறிக்கும்.
 
a, b [[முழு எண்]]கள் எனில், a/b என்ற வடிவில் எழுதப்படக்கூடிய எண்களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]] [[விகிதமுறு எண்]]களின் கணம் எனப்படும். விகிதமுறு எண்கள் கணத்தின் குறியீடு '''Q'''. ஒரு எண்ணைப் பின்ன வடிவில் எழுத முடியுமா இல்லையா என்பதைக் கொண்டு அவ்வெண் விகிதமுறு எண்ணா இல்லையா என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்.
 
விகிதமுறு எண்களைத் தவிர வேறுசில கணிதக் கோவைகளுக்கும் பின்னங்கள் என்ற பெயர் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
எடுத்துக்காட்டுகள்:
வரிசை 58:
 
===கலப்பு பின்னங்கள்===
''கலப்பு பின்னம்'' அல்லது ''கலப்பு எண்'' என்பது, ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண் மற்றும் தகுபின்னம் இரண்டின் கூடுதலாக அமையும். முழுஎண்ணுக்கும் தகுபின்னத்துக்கும் இடையே "+" குறியீடு எழுதப்படுவதில்லை.
 
எடுத்துக்காட்டு:
வரிசை 92:
 
===விகிதங்கள்===
ஒரு [[விகிதம்]] என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட எண்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைக் குறிக்கும். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பொருட்களை குழுக்களாகப் பிரித்து, ஒவ்வொரு குழுவிலும் இருக்கும் பொருட்களின் எண்ணிக்கையின் வாயிலாக, அவை எண்ணளவில் ஒப்பீடு செய்யப்படுகின்றன.
 
எடுத்துக்காட்டாக, ஓரிடத்தில் நிறுத்திவைக்கப்பட்டுள்ள 12 தானுந்துகளில் அவற்றின் நிற வகைப்பாடு பின்வருமாறு உள்ளது:
வரிசை 104:
:சிவப்பு, மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 6:4 = 3:2
 
குறிப்பிட்ட பாகத்திற்கும் முழுவதற்குமான விகிதங்களைப் பின்ன வடிவில் எழுதலாம்.
 
:மொத்த தானுந்துகளில் வெள்ளை தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:12 = 1:6.
:இதன் பின்ன வடிவம் = 1/6.
:அதாவது மொத்த தானுந்துகளில் ஆறில் ஒரு பங்கு வெள்ளை தானுந்துகள் உள்ளன.
 
:மொத்த தானுந்துகளில் சிவப்பு தானுந்துகளின் விகிதம்: 6:12 = 1:2
வரிசை 124:
:<math>\tfrac{8}{23}</math> இன் தலைகீழி <math>\tfrac{23}{8}</math>.
ஒரு பின்னத்தையும் அதன் தலைகீழியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் விடை [[1 (எண்)|1]] ஆகும். எனவே ஒரு பின்னத்தின் தலைகீழியானது அப்பின்னத்தின் [[பெருக்கல் நேர்மாறு]] ஆகும்.
 
ஒரு தகு பின்னத்தின் தலைகீழி தகாபின்னமாக இருக்கும்:
வரிசை 139:
 
எடுத்துக்காட்டுகள்:
<math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}</math>, <math>\frac{12\tfrac{3}{4}}{26}</math> இரண்டும் சிக்கல் பின்னங்களாகும்.
 
ஒரு சிக்கல் பின்னத்தைச் சுருக்குவதற்கு, அதன் தொகுதிக்கும் பகுதிக்கும் இடைப்பட்ட அதிநீள பின்னக் கோட்டை வகுத்தல் குறியாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
வரிசை 157:
 
எடுத்துகாட்டு:
<math>\tfrac{5}{7}</math> இன் <math>\tfrac{3}{4}</math> பங்கு என்பது கூட்டு பின்னம் <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7} </math> ஆகும். இதனைச் சுருக்கி, <math>\tfrac{3}{4} \times \tfrac{5}{7}= \tfrac{15}{28}</math> என எழுதலாம்.
 
சிக்கல் பின்னமும் கூட்டு பின்னமும் ஒன்றுக்கொன்று நெருங்கிய தொடர்புடையன.
 
===தசம பின்னங்களும் விழுக்காடுகளும்===
ஒரு தசம பின்னத்தில் (''decimal fraction'') அதன் பகுதியானது பத்தின் முழுஎண் அடுக்குகளாக இருக்கும். எனினும் தசம பின்னத்தின் பகுதி வெளிப்படையாக எழுதப்படுவதில்லை. தசம பின்னங்கள் தசமக் குறியீட்டில் எழுதப்படுகின்றன. அக்குறியீட்டில் தசம புள்ளிக்கு வலப்புறமுள்ள [[தானம் ( கணிதம் )|இலக்கங்களின்]] எண்ணிக்கையே வெளிப்படையாக அமையாத பகுதியின் பத்தின் முழுஎண் அடுக்கைக் குறிக்கும்.
 
எடுத்துக்காட்டாக, 0.75 இல் தசமப் புள்ளிக்கு வலப்புறம் இரண்டு இலக்கங்கள் உள்ளதால் அதன் பகுதி 10 இன் அடுக்கு இரண்டாக, அதாவது 100 ஆக இருக்கும்.
வரிசை 174:
0.0000006023 = {{val|6.023|e=-7}}. {{val|e=-7}} ஆனது பகுதி {{val|e=7}} ஐத் தருகிறது. {{val|e=7}} ஆல் வகுக்கும்போது தசமபுள்ளியானது இடப்புறமாக ஏழு இடங்கள் நகர்கிறது.
 
தசமபுள்ளிக்கு வலப்புறம் முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான இலக்கங்களைக் கொண்ட தசமபின்னமானது ஒரு [[தொடர் (கணிதம்)|தொடரைக்]] குறிக்கும்.
 
எடுத்துக்காட்டு:
வரிசை 186:
::−27% = −27/100.
 
சாதாரண பின்ன அல்லது தசமபின்ன வடிவங்கள் இரண்டில் எதனைப் பயன்படுத்தலாம் என்பது சூழலின் தேவையைப் பொறுத்தும் கணக்கிடும் நபரின் விருப்பத்தையும் பொறுத்தது. பின்னத்தின் பகுதி சிறிய எண்ணாக இருக்கும்போது சாதாரண பின்ன வடிவம் தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம். மனதிலேயே கணக்கிட அது உதவியாக இருக்கும்.
 
எடுத்துக்காட்டாக:
*16 ஆல் 3/16 ஐப் பெருக்க வேண்டுமானால், 3/16 ஐ தசமபின்ன வடிவில் எடுத்துக்கொள்வதைவிட, சாதாரண பின்ன வடிவத்தில் எளிதாகக் கணக்கிட முடியும்.
*1/3 ஐ 15 ஆல் பெருக்கும் போது சாதாரண பின்னமாகக் கொண்டு பெருக்கினால் விடை 5 என முழு எண்ணாகக் கிடைக்கும். ஆனால் 1/3 ஐ தசம வடிவிற்கு (1/3=0.3333...) என மாற்றி இப்பெருக்கலுக்கு விடை காண்போமானால் விடை முழு எண்ணாகக் கிடைக்காது.
 
பணமதிப்புகள் பொதுவாக தசமபின்ன வடிவில், இரண்டு தசமத்தானங்கள் கொண்டவையாக எழுதப்படுகின்றன. [[இந்தியா]]வில் ரூ 85.50 எனவும் அமெரிக்காவில் $3.75 எனவும் எழுதப்படுகின்றன. தசமபின்னங்கள் பழக்கத்திற்கு வருமுன்னர் பிரித்தானியப் பணம் 3 ஷில்லிங் மற்றும் 6 பென்சு என்பது, 3/6 ("மூன்று மட்டும் ஆறு" என வாசிக்கவும்) என எழுதப்பட்டது. இதற்கும் சாதாரண பின்னம் 3/6 க்கும் எந்தவிதத் தொடர்பும் கிடையாது. .
வரிசை 204:
எடுத்துக்காட்டு:
 
<math>\tfrac{1}{2}</math> பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளை 2 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் பின்னம் <math>\tfrac{2}{4}</math>.
 
ஒரு பொருளை இரண்டாகப் பிரித்து அதில் ஒரு பங்கு எடுப்பதும், அதே பொருளை நான்காகப் பிரித்து அதில் இரண்டு பங்குகளை எடுப்பதும் ஒரே அளவாக இருக்கும். எனவே இவ்விரு பின்னங்களும் ஒரே மதிப்பைக் குறிக்கும் (முழுப்பொருளில் பாதி).
 
:<math>\tfrac{1}{2}</math> இன் ஒரு சமான பின்னம் <math>\tfrac{2}{4}</math>
வரிசை 214:
:<math>\tfrac{5}{10}</math> = <math>\tfrac{1}{2}</math> = <math>\tfrac{10}{20}</math> = <math>\tfrac{50}{100}</math>.
 
ஒரு பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி]]யால் அவற்றை வகுத்து, அப்பின்னத்தைச் சுருக்கவியலாப் பின்னமாக்கலாம்.
 
எடுத்துக்காட்டு:
வரிசை 222:
===பின்னங்களை ஒப்பிடல்===
*ஒரே பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களை அவற்றின் தொகுதிகளை ஒப்பிடுவதன் மூலம் ஒப்பிடலாம். பகுதிகள் ஒன்றாக இருக்கும்போது பெரிய தொகுதியுடைய பின்னமே சிறிய தொகுதி கொண்ட பின்னத்தை விடப் பெரியதாகும்.
:<math>\tfrac{3}{4}>\tfrac{2}{4}</math>
 
*இரு பின்னங்கள் ஒரே தொகுதி கொண்டிருந்தால், சிறிய பகுதி கொண்ட பின்னமே பெரிய பகுதி கொண்ட பின்னத்தைவிடப் பெரியதாகும்.
வரிசை 279:
 
===கழித்தல்===
கூட்டலைப் போன்றதே பின்னங்களின் கழித்தலும். இரு பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கு அவற்றின் பகுதிகள் ஒன்றாக இருக்க வேண்டும். கழிக்க வேண்டிய இரு பின்னங்களின் பகுதிகள் ஒரே எண்ணாக இல்லையெனில், அவற்றை ஒரே பகுதி கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றிக் கொண்ட பின் கழிக்கலாம்.
 
எடுத்துக்காட்டு:
வரிசை 310:
 
எடுத்துக்காட்டு:
<math>\tfrac{10}{3} \div 5 = \tfrac{10/5}{3} =\tfrac{10}{3 \cdot 5} = \tfrac{10}{15} = \tfrac{2}{3}</math>.
 
ஒரு முழுஎண்ணை (அல்லது பின்னம்) ஒரு பின்னத்தால் வகுப்பதற்கு அந்த எண்ணை பின்னத்தின் தலைகீழியால் பெருக்கலாம்.
வரிசை 318:
 
===பின்னத்தை தசம பின்னமாக மாற்றுதல்===
ஒரு பின்னத்தை தசமபின்னமாக மாற்றுவதற்கு, அப்பின்னத்தின் தொகுதியை பகுதியால் வகுக்க வேண்டும். சரியாக வகுபடாவிட்டால் தேவையான இலக்கங்களுக்குத் தோராயப்படுத்திக் கொள்ளலாம்.
 
எடுத்துக்காட்டுகள்:
வரிசை 327:
20
<u>20</u>
0
 
*1/3 = 0.333...
வரிசை 336:
10
<u>10</u>
1
 
===தசமபின்னத்தை சாதாரண பின்னமாக்கல்===
வரிசை 348:
கணக்கிடுதலுக்கு சாதாரண பின்னங்களைவிட மீளும் தசமங்கள் எளிதானவை என்றாலும், சில சூழல்களில் சாதாரண பின்னங்கள் போன்று இவை துல்லியமான விடைகளைத் தருவதில்லை. அவ்வாறான நிலைகளில் மீளும் தசமங்களை சாதாரண பின்னங்களாக மாற்றிக்கொள்ள வேண்டியதாகிறது.
 
பொதுவாக மீளும் தசமங்கள், அவற்றின் சுழலும் தசமங்களின் மேல் ஒரு கோடிடப்பட்டு குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, 0.{{overline|789}} = 0.789789789…
 
தசமபுள்ளிக்கு அடுத்தபடியாகவே மீள்கை தொடங்கும் மீள் தசமங்களில், அவற்றின் சாதாரண பின்னவடிவின் தொகுதி அந்த மீள் இலக்கங்களாகவும், பகுதியானது எத்தனை இலக்கங்கள் மீள்கின்றனவோ அதனை 9 -கள் கொண்ட எண்ணாகவும் அமையும்.
வரிசை 383:
== நுண்புலக் கணிதத்தில் பின்னம்==
நடைமுறை வாழ்க்கையில் பின்னங்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாக இருந்ததோடு, கணிதவியலாளர்களாலும் சீர்பார்க்கப்பட்டு மேல்தரப்பட்ட விதிகள் சரியானவையே என உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் பின்னத்தை கீழுள்ளவாறு இரு முழுவெண்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு இரட்டையாக வரையறுக்கின்றனர்.
:<math>(a,b)</math> <math>a,</math> <math>b </math> இரண்டும் [[முழு எண்]]கள்; <math>a</math> மற்றும் <math>b \ne 0,</math>
 
பின்னத்தைன் இவ்வகை வரையறைக்கான [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]], [[கழித்தல் (கணிதம்)|கழித்தல்]], [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]], [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தல்]] செயல்களின் வரையறைகள்:<ref>{{cite web|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fraction |title=Fraction |publisher=Encyclopedia of Mathematics |date=2012-04-06 |accessdate=2012-08-15}}</ref>
வரிசை 392:
:<math>(a,b) \div (c,d) = (ad,bc) \quad(\text{with, additionally, } c \ne 0) </math>
 
கணிதச் செயல்களின் இந்த வரையறைகள் கட்டுடையின் மேற்பகுதியில் தரப்பட்ட வரையறைகளோடு எல்லாவிதத்திலும் ஒத்திருக்கின்றன; குறியீட்டளவில் மட்டுமே வேறுபடுகிறது.
 
கழித்தலையும் வகுத்தலையும் செயலிகளாக வரையறுப்பதற்குப் பதிலாக கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் நேர்மாறு பின்னங்களாக கீழ்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:
வரிசை 412:
எடுத்துக்காட்டுகள்:
*<math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math>
*<math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>.
 
இயற்கணித பின்னங்களும் சாதரண எண்கணித பின்னங்களின் விதிமுறைகளுக்குட்பட்டவையாகும்.
 
தொகுதியும் பகுதியும் [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]களாகக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னமானது விகிதமுறு கோவை அல்லது விகிதமுறு பின்னம் எனப்படும்.
 
எகா: <math>\frac{7x+5}{x^3+2x^2-3}</math>
 
தொகுதி அல்லது பகுதியிலுள்ள இயற்கணிதக் கோவையானது பின்ன அடுக்குகொண்ட மாறியில் அமைந்திருந்தால் அந்த இயற்கணித பின்னமானது விகிதமுறா பின்னம் எனப்படும்..
 
எகா: <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>
வரிசை 426:
சாதாரண பின்னங்களைப் போன்றே இயற்கணித பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதி கோவைகளுக்கு பொதுக் காரணிகள் இல்லாத இயற்கணிதப் பின்னங்கள் எளிய வடிவில் அமைந்துள்ளதாகக் கருதப்படும்.
 
தொகுதி அல்லது பகுதியில் அல்லது இரண்டிலும் பின்னக் கோவைகளைக் கொண்டவை சிக்கல் பின்னம் எனப்படும்.
 
எகா: <math>\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}</math>
 
 
ஒரு இயற்கணித பின்னத்தை விகிதமுறு கோவைகளின் கூட்டலாக எழுதும் போது அந்த விகிதமுறு கோவைகள் [[பகுதி பின்னம்|பகுதி பின்னங்கள்]] என அழைக்கப்படுகின்றன. தரப்பட்டு இயற்கணித பின்னத்தின் பகுதியாகவுள்ள கோவையின் படியை விடக் குறைந்த படியுள்ள கோவையைப் பகுதியாகக் கொண்ட விகிதமுறு கோவைகளின் கூடுதலாக மூல பின்னம் எழுதப்படுகிறது.
"https://ta.wikipedia.org/wiki/பின்னம்" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது