கேடலான் எண்கள்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி தானியங்கி: AFTv5Test இல் இருந்து நீக்குகின்றது |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 10:
'''முக்கிய குறிப்பு''': C<sub>1</sub> = 1; C<sub>2</sub> =1; C<sub>3</sub> = 2; C<sub>4</sub> =5; C<sub>5</sub> = 14, C<sub>6</sub> = 42 ..... என்ற இந்தக்கட்டுரைத் தொடர்பை
C<sub>0</sub> = 1; C<sub>1</sub> =1; C<sub>2</sub> = 2; C<sub>3</sub> =5; C<sub>4</sub> = 14, C<sub>5</sub> = 42 ..... என்றும் குறியிடும் வழக்கம் பரவலாக இருக்கிறது. அந்த வழக்கப்படி, (இக்கட்டுரையிலல்ல)
:<math>C_n =\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}</math>.இக்கட்டுரையில் இது C<sub>n+1</sub> ஆகும்.
வரிசை 20:
:'''''T<sub>n+1</sub> = C<sub>n</sub>'''''
ஆக, ''T<sub>3</sub>'' = 1; ''T<sub>4</sub>'' = 2; ''T<sub>5</sub>'' = 5; ''T<sub>6</sub>'' = 14; ''T<sub>7</sub>'' = 42 …….
''T<sub>2</sub>'' =1 என்று நாம் விதி செய்துகொள்ளலாம்.
வரிசை 50:
:'''(**)''' <math>a_n = a_1 a_{n-1} + a_2 a_{n-2} + ... + a_{n-1} a_1</math>
<math>T_{n+1}</math>க்கு பதில் <math> a_n</math> ஐ ப்பொருத்தினால், '''(*)'''ம் '''(**)'''ம் ஒரே மீள்வரு தொடர்பு தான். அதனால்
:<math>a_n = T_{n+1} = C_n</math>
வரிசை 56:
== கழி உடைப்புச்செயல் ==
''n'' அலகுகள் அளவுள்ள ஒரு கழியை ஒவ்வொரு படியிலும் ஒரு அலகை விடப் பெரியதாகவுள்ள துண்டுகளை இரண்டாக உடைப்பதன் மூலம் ''n'' ஒரு அலகுத் துண்டுகளாக உடைக்க, <math>C_n</math> வழிகளுள்ளன.
இது எப்படியென்றால், <math>x_1x_2 ... x_n</math> என்ற பெருக்கலுக்கு அடைப்புகள் போடும் செயலையும் கழி உடைப்புச்செயலையும் ஒத்துப்பார். கடைசிப்பெருக்கல் ஏதோ இரண்டைப்பெருக்குகிறது. அந்த இரண்டில் ஒவ்வொன்றும் அடைப்புகளுக்குள் இருக்கின்றன.
வரிசை 71:
[[படிமம்:Catalan 2.png|right|thumb|600px]]
<math>(n-1) \times (n-1)</math> சன்னல் புள்ளிகளுள்ள இரு பரிமாண தளத்தில் இடது கீழ் மூலையிலிருந்து வலது மேல் மூலைக்கு சன்னல் புள்ளிகள் வழியாக ஆயத்திசைகளிலேயே போகும் பாதைகள் மூலை விட்டத்தைத் தாண்டாமல் இருந்தால் அவை ‘'''நேர்மைப் பாதைகள்'''' எனப் பெயர் பெறும். இவைகளின் எண்ணிக்கையும் <math>C_n</math> தான்.
இந்த நிறுவலை சற்று கவனமாகவே கையாளவேண்டும். இடது கீழ்மூலையை ''(0,0)'' என்று ஆயத்தளத்தின் தொடக்கப் புள்ளியாகக்கொள்வோம். இப்பொழுது வலது மேல் மூலை ''(n-1, n-1)'' ஆகும். ''(0,0)'' விலிருந்து (''n-1, n-1)'' க்குப்போகும் எல்லாப்பாதைகளின் எண்ணிக்கையை ஒரு [[சேர்வு]]க் கணக்காகக் கணித்திடலாம். அதாவது, மொத்தம் இருக்கும் ''(2n-2)'' அடிகளில் எத்தனை வழிகளில் ''(n-1)'' வலது பக்கம் போகும் அடிகளாகத் தேர்ந்தெடுக்கலாம் என்ற எண்ணிக்கைதான் அது. ஆக, இந்த எண்
வரிசை 77:
:<math>\binom{2n-2}{n-1}</math>.
இவைகளில் ''y = x'' என்ற மூலை விட்டத்தைக் கடக்காத பாதைகள் எத்தனை? இதைக் கணிப்பதைவிட மூலைவிட்டத்தைக் கடக்கும் பாதைகளைக் கணக்கிடுதல் சற்று எளிது. இவைகளை தற்போதைக்கு 'நேர்மையல்லாத பாதைகள்' என்று சொல்வோம்.
கணம் A: ''(0,0)'' விலிருந்து ''(n-1,n-1)''க்குச்செல்லும் எல்லா'நேர்மையல்லாத பாதைகள்' என்று கொள்.
வரிசை 87:
ஒவ்வொரு நேர்மையல்லாத பாதையும் ''y = x'' ஐ எங்கோ ஓரிடத்தில் கடக்கத்தான் வேண்டும்; கடந்து ''y= x + 1'' ஐயும் சந்தித்துத்தான் ஆகவேண்டும். இப்படி முதன்முதலில் சந்திக்கும் இடத்தை P என்று பெயரிடுவோம். (''0,0)'' விலிருந்து P வரையில் உள்ள இப்பாதையை ''y=x+1'' என்ற கோட்டில் பிரதிபலித்தால், அது ''(-1,1)'' இலிருந்து P வரையில் உள்ள பாதையாக மாறும். இதைத்தொடர்ந்து மீதமுள்ள பாதையில் P இலிருந்து ''(n-1, n-1)'' வரையில் சென்றால், நமக்கு ''(-1, 1)''இலிருந்து ''(n-1, n-1)'' வரையில் ஒரு பாதை கிடைக்கும்.
இதற்கு எதிர்மறையாக, ''(-1,1)'' இலிருந்து ''(n-1, n-1)'' க்குள்ள ஒவ்வொரு பாதைக்கும், அதே பிரதிபலிப்பின் நேர்மாறைப் பயன்படுத்தி ''(0,0)'' விலிருந்து ''(n-1, n-1)'' க்குள்ள ஒரு 'நேர்மையல்லாத பாதை'யை அடையலாம்.
ஆக, Aக்கும் Bக்கும் ஒரு இருவழிக்கோப்பு உண்டாக்கப்பட்டுவிட்டது. இதனால் தெரிவது என்னவென்றால் ''(0,0)'' விலிருந்து ''(n-1,n-1)''க்குப்போகும் நேர்மையல்லாத பாதைகளின் மொத்த எண்ணிக்கை, ''(-1,1)'' இலிருந்து ''(n-1, n-1)'' க்குப்போகும் எல்லாப் பாதைகளின் மொத்த எண்ணிக்கையே. இந்த எண்
வரிசை 95:
ஏனென்றால், வலது பக்கம் எடுக்கப்படவேண்டிய அடிகளின் எண்ணிக்கை ='' n ,'' மற்றும், மொத்த அடிகளின் எண்ணிக்கை = ''(n-1)-(-1) + (n-1)-1 = 2n - 2.''
இதிலிருந்து, ''(0,0)''விலிருந்து (''n-1,n-1'')க்கு நேர்மையான பாதைகளின் எண்ணிக்கை
= <math>\binom{2n-2}{n-1} - \binom{2n-2}{n} </math>
= <math>\frac{1}{n} \binom{2n-2}{n-1} = C_n </math>
வரிசை 104:
[[படிமம்:Noncrossing-partition.svg|right|thumb|400px]]
''2n'' நபர்கள் வட்டமாக உட்கார்ந்திருக்கும்போது, எல்லோரும் ஒரே நேரத்தில் கைநீட்டி மற்ற யாராவதொருவருடன் கைகுலுக்க, யாருடைய கையும் மற்ற எவருடைய கையையும் குறுக்கே தாண்டாத முறையில் கைகுலுக்க உள்ள வழிகள் <math>C_{n+1}. </math>
இதே பிரச்சினையை வேறுவிதமாகவும் உருமாற்றலாம். ஒரு வட்டத்தின் மேல் ''2n'' புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டிருக்கின்றன. இவைகளை ஒன்றுக்கொன்று வெட்டாத வகையில் ஜோடி ஜோடியாக நாண்களால் இணைக்கவேண்டும். இதற்குள்ள வழிகளும் மேலே கைகுலுக்கல் பிரச்சினைக்குள்ள வழிகளும் ஒன்றுதான்.
வரிசை 117:
== ஈருறுப்புத் தொடர்புகளின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகள் ==
(+1), (-1) இவை மாத்திரம் கொண்ட
: (<math>a_1</math>, <math>a_2</math>, … <math>a_{2n-2}</math>)
வரிசை 127:
:(*): (((a.b).c).d)
இங்கு 3 பெருக்கல்களும், மூன்று ஜோடி அடைப்புகளும் உள்ளன. குறிப்பு: பெருக்கலின் தொடக்கத்திற்கும் முடிவுக்கும் கூட ஒரு ஜோடி அடைப்புக்குறி போடப்படுகிறது.
இப்பொழுது இருவழிக்கோப்பு எப்படி வருகிறதென்று பார்க்கலாம். (*)இல் பெருக்கல் புள்ளிகளையும், வலது பக்க அடைப்புகளையும் மாத்திரம் வைத்துக்கொள்வோம். மற்ற எல்லாக்குறிகளையும் எழுத்துக்களையும் அழித்துவிடுவோம். இப்பொழுது நமக்குக்கிடைப்பது:
வரிசை 141:
அடைப்புக்குறியிடல்: ((a.(b.c)).d) <math>\leftrightarrow </math> தொடர்பு: +1, +1, -1, -1, +1, -1
தொடர்பு: +1, +1, +1, -1, -1, -1 <math>\leftrightarrow</math> அடைப்புக்குறியிடல்: (a.(b.(c.d)))
== மலைப்படிமங்கள் ==
வரிசை 153:
* Catalan, Eugene. (1844): {{lang|fr|Note extraite d’une lettre adress´ee. J. Reine Angew. Math., 27:192.}}
* Stanley, R.P. (1999): ''Enumerative Combinatorics'', Vol. 2. Cambridge University Press. (pp. 219–229)
* V. Krishnamurthy, C.R. Pranesachar, K.N. Ranganathan, B.J. Venkatachala. Challenge and Thrill of Precollege Mathematics. 2nd edn. 2007 New Age International, New Delhi
| |||