எண் கோட்பாடு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
Aswn (பேச்சு | பங்களிப்புகள்) *உரை திருத்தம்* |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 26:
::* வட்டத்தின் பிரிவினை
இவைகளில் பல தனிப்பட்ட பாகங்கள் ஏற்கனவே ஃபெர்மா, [[ஆய்லர்]] (1707-1783), [[லாக்ராஞ்சி]](1736-1813), [[லெஜாண்டர்]](1752-1833) முதலியவர்களால் ஆக்கப்பட்டிருந்தாலும், காஸ் அவைகளெல்லாவற்றையும் தன்னுடைய பொதுத் தேற்றங்களிலிருந்து கொண்டுவந்தது இந்நூலின் சிறப்பு. எடுத்துக்காட்டாக, <math>4n+1</math> என்ற உருவமுடைய எந்த பகா எண்ணும் இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகை, அதுவும் ஒரே ஒரு வழியில்தான், என்ற ஃபெர்மாவின் சுவையான தீர்வு காஸின் [[இரும இருபடிய அமைப்பு]]களின் பொதுக்கோட்பாட்டிலிருந்து இயல்பான முறையில் உருவாகிவிடுகிறது.
எல்லாவற்றிலும் தலைதூக்கி நின்றது [[இருபடிய நேர் எதிர்மை]] என்ற கடினமான, ஆனால் சுவையான, தேற்றமும் அதன் பயன்பாடும்.
வரிசை 32:
== பகா எண்களின் எண்ணிக்கையைப் பற்றி ==
பகா எண் என்ற கருத்து தோன்றிய காலத்திலிருந்து பகா எண்கள் எவ்வளவு இருக்கும்? எப்படிப் பரவி இருக்கும்? என்ற கேள்விகள் முதன்மையான பிரச்சினைகளாயின.
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] தீர்வு காணமுடியாமல் இருக்கும் பிரச்சினைகளில் முதல் இடம் வகிக்கும் பிரச்சினையான ரீமான் கருதுகோள் பிரச்சினை க்கும் பகாஎண்களின் எண்ணிக்கை பிரச்சினைக்கும் மிகச்சிடுக்கான வழியில் பிணைப்புள்ளது. 1859 இல் [[பெர்ன்ஹார்ட் ரீமான்]] (1826-1866) இனால் முன்மொழியப்பட்டு இன்று வரையில் தீர்வு இல்லாமல் இருந்து கொண்டிருக்கிற இக்கருதுகோள் பிரச்சினை [[ரீமான் ஜீட்டா-சார்பு]] என்ற ஒரு புகழ் வாய்ந்த சார்பின் [[சுழி]]களைப் பற்றியது. இதன் வரையறை:
வரிசை 40:
இங்கு <math>s</math> என்ற மாறி ஒரு சிக்கலெண் மாறி. <math>s = \sigma + it</math>. <math>\sigma</math> வும் <math> t</math> யும் மெய்யெண்கள். <math>i</math> என்பது [[கற்பனை அலகு]].
இச்சார்பில் <math>s = -2, -4, -6, ...</math> ஆக இருந்தால் <math>\zeta(s) = 0</math> என்பது தெரிந்த விஷயம். இவைகளை '''வெற்றுச்சுழி'''கள் (trivial zeros) என்பர். '''வெற்றல்லாத சுழி'''களைப் பற்றியது ரீமான் கருதுகோள்.
'''<math>s = \sigma + it</math> என்ற சிக்கலெண் ரீமான் ஜீட்டா சார்பின் வெற்றல்லாத சுழியாயிருந்தால், <math>\sigma = 1/2</math>.''' என்பது ரீமானின் யூகம். அதாவது, [[சிக்கலெண் தளத்தில்]], வெற்றல்லாத சுழிகளெல்லாம் <math>\sigma = 1/2</math> என்ற செங்குத்துக்கோட்டில் தான் இருக்கும்.
பகா எண்களின் பட்டியல்களைக் கவனமாக ஆய்ந்ததில் காஸ், லெஜாண்டர் (1752-1833)முதலியோர் பகா எண் தேற்றம் என்றதோர் தேற்றத்தை யூகமாக முன்மொழிந்தனர். இத்தேற்றம் '''பகா எண் தேற்றம்''' என்று பெயர் பெற்றது. அதிலுள்ள ஆங்கிலச்சொற்களின் (Prime Number Theorem) முதல் எழுத்துக்களை வைத்து PNT என்றும் புழக்கத்தில் குறிக்கப்பட்டது.
வரிசை 52:
முதல் <math>x</math> நேர்ம முழு எண்களில் எவ்வளவு எண்கள் பகாதனிகளாக இருக்கும்? இந்த எண்ணிக்கையை <math>\pi(x</math>) என்று அழைப்பது வழக்கம். இதற்கு ஒரு தோராய மதிப்பைத் தருவதுதான் ''' [[பகா எண் தேற்றம்]]'''. இதை 1898 இல் தனித்தனியே நிறுவியவர்கள் [[ஹாடமார்டு]]ம் [[டெ லா வாலி புவாஸான்]] என்பவரும். இதன்படி
<math>\pi(x)</math> இன் தோராய மதிப்பு <math>x/ln x</math>. அதாவது, <math>x</math> [[முடிவிலி]]யை நோக்கி ஒருங்கும்போது,
::<math>\frac{\pi(x)}{ \frac{x}{ln x}} \rightarrow </math>
இந்த நிறுவலில் [[ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்]] முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 1948 இல் [[ஸெல்பர்க்]], [[பால் ஏர்டோசு]] இருவரும் சேர்ந்து இதற்கு ஒரு மாற்று நிறுவல் கொடுத்தார்கள். அதில் ரீமான் ஜீட்டா சார்பின் தேவையில்லை. அதனால் இதற்கு 'பகா எண் தேற்றத்தின் சாதாரண நிறுவல்' (Elementary Proof of PNT) என்று பெயர் வந்தது.
தொடர் மாறிகளையும் சார்புகளையும் பற்றிப் பேசும் கணிதப்பிரிவு பகுவியல் எனப்படும். இயல் எண்களின் பண்புகளைப் பற்றிப் பேசுவது எண் கோட்பாடு. இவ்விரண்டுக்கும் ஒரு இன்றியமையாத பிணைப்பு இத்தேற்றத்தின் மூலம் ஏற்படுகிறது. இது கணிதத்தில் ஒரு விந்தையே.
வரிசை 68:
=== டயோஃபாண்டஸ் ===
[[டையோபண்டஸ்|டயோஃபாண்டஸ்]] சிர்க்கா என்னும் நகரத்தில் வாழ்ந்தவராககக் கூறப்படுகிறது. டயோபாண்டஸ் ஒரு ஹெல்லனிஷ்டிக் கணித அறிஞர் என அழைக்கப்படுகிறார். இவர் வாழ்ந்த காலத்தை ஒருதரப்பினர் கி. பி. 200 இலிருந்து கி. பி. 284 என்றும், மற்றொரு தரப்பினர் கி. பி. 214 இலிருந்து கி. பி. 294 என்றும் எடுத்துரைக்கின்றனர். இவர் பதின்மூன்று புத்தகங்கள் அடங்கிய ''அரித்மேட்டிகா'' என்னும் நூலின் தொகுப்பாசிரியர் ஆவார். இந்நூல் கணிதத்தில் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க நூலாகும். மேலும், இந்நூலில் தற்போது ஆறு நூல்கள் மட்டுமே எஞ்சிக் காணப்படுகின்றன. வடிவியல் முறைகள், பாபிலோனியக் கணிதவியல் ஆகியவற்றிலிருந்து இது முற்றிலும் மாறுபட்டுள்ளது. தோராய தீர்வுகளுக்குப் பதிலாக, இவர் எப்போதும் துல்லியமிக்க தீர்வுகளையே முன்னிலைப்படுத்தினார். எனினும், இந்த நூலானது கிரேக்க மரபுக் கணிதவியல் விளக்கங்களுடன் சிறிதளவே பொதுவாகக் காணப்பட்டது.<ref>{{cite book | title=கணிதம் ஒன்பதாம் வகுப்பு முதல் பருவம் தொகுதி இரண்டு | publisher=பள்ளிக் கல்வித்துறை, சென்னை - 6 | year=2017 | pages= 69}}</ref>
* பாஸ்கரர் II
வரி 110 ⟶ 108:
* {{Wikiquote-inline}}
* [http://www.numbertheory.org/ எண் கோட்பாடு இணையம்]
[[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
| |||