விக்கிப்பீடியா

கணக் கோட்பாடு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

Browse history interactively
← முந்தைய வேறுபாடுஅடுத்த வேறுபாடு →
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
VisualWikitext
சி →‎வரலாறு: இணைப்பு
அடையாளம்: 2017 source edit
சி பராமரிப்பு using AWB
வரிசை 11:
கணிதவியல் தலைப்புகள் பொதுவாக பல ஆய்வாளர்களின் ஊடாட்டத்தில் தோன்றிப் படிமலர்கின்றன. என்றாலும் கணக்கோட்பாடு, [[கியார்கு காண்ட்டர்]] 1874 இல் வெளியிட்ட தனி ஆய்வுக் கட்டுரையான "அனைத்து இயற்கணித மெய் எண்களின் திரட்டு சார்ந்த இயல்பைப் பற்றி (On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers)" எனும் ஆய்வினால் தோற்றுவிக்கப்பட்டது.<ref name="cantor1874">{{citation |first=Georg |last=Cantor|author-link=Georg Cantor |title=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen |journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.]] |volume=77 |year=1874 |issue= |pages=258–262 |url = http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583 |doi=10.1515/crll.1874.77.258 }}</ref><ref>{{citation |first=Philip |last=Johnson |year=1972 |title=A History of Set Theory |publisher=Prindle, Weber & Schmidt |isbn=0-87150-154-6 }}</ref>
 
கி.மு 5 ஆம் நூற்றாண்டில் இருந்து, அதாவது, மேற்கில் கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் எலியாவின் சீனோவில் இருந்தும் கிழக்கில் தொடக்கநிலை இந்தியக் கணிதவியலில் இருந்தும், கணிதவியலாளர்கள் ஈறிலி கருத்தினம் குறித்த புரிதலுக்குத் திண்டாடிக் கொண்டிருந்தனர். இவற்றில் குறிப்பிட்த் தகுந்த பணி, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் அரைப்பகுதியில் உருவாக்கப்பட்ட பெர்னார்டு போல்சானோவின் ஆய்வாகும். <ref>{{Citation|last=Bolzano|first=Bernard|author-link=Bernard Bolzano|editor-last=Berg|editor-first=Jan|title=Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|page=152|series=Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al.|volume=Vol. II, A, 7|publisher=Friedrich Frommann Verlag|location=Stuttgart, Bad Cannstatt|isbn=3-7728-0466-7|year=1975}}</ref> ஈறிலி சார்ந்த தற்காலப் புரிதல் 1867–71 களில் காண்டரின் எண் கோட்பாட்டில் அமைந்த்து. காண்டரும் டெடிகைண்டும் 1872 இல் சந்தித்ததும், அது காண்டரின் சிந்தனையில் தாக்கம் விளைவித்து அவரது 1874 ஆம் ஆண்டு ஆய்வு வெளிவர வழிவகுத்தது.
 
காண்டரின் ஆய்வு முதலில் அவரது சமகாலக் கணிதவியலாளர்களை இவரோடு முரண்பட வைத்தது. ஆனால், கார்ல் வியர்சுட்டிராசும் டெடிகைண்டும் காண்டரையும் ஆதரித்தனர். ஆனால், கணிதக் கட்டுமானவியலின் தந்தையாகிய இலியோபோல்டு குரோனெக்கர் காண்டரை ஏற்கவில்லை. காண்டரியக் கணக் கோட்பாடு பின்வரும் கருத்தினங்களின் பயன்பாட்டுக் காரணங்களால் பரவலானது. அவை, கணங்களுக்கு இடையிலான ஒன்றுக்கொன்றாய் அமையும் நேரடித் தொடர்பு, முற்றெண்களை விட கூடுதலான மெய்யெண்கள் நிலவுதலுக்கான நிறுவல், "ஈறிலிகளின் ஈறிலி", திறன்கண வினையில் விளையும் ("காண்டரின் துறக்கம் (Cantor's paradise)") என்பனவாகும். கணக் கோட்பாட்டின் இந்தப் பயன்பாடு, கிளீன் களஞ்சியத்துக்கு ஆர்த்தர் சுசோயெபிளிசு "Mengenlehre" எனும் கட்டுரையை 1898 இல் அளிக்க வழிவகுத்தது.
வரிசை 30:
எண்ணியலில் எண்களின் மீது இரும வினைகள் செயல்படுதலைப் போலவே கணக்கோட்பாட்டில் கணங்களின் மீது இரும வினைகள் செயல்படுகின்றன:
 
*{{math|''A''}}, {{math|''B''}} ஆகிய இரண்டு கணங்களின் '''[[ ஒன்றுகணம்]]''' என்பது {{math|''A'' ∪ ''B''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. இது {{math|''A''}}, அல்லது {{math|''B''}}, அல்லது இவ்விரண்டின் உறுப்புகளாக உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2, 3} }}, {{math|{2, 3, 4} }} ஆகிய இரண்டு கணங்களின் ஒன்றுகணம் {{math|{1, 2, 3, 4} }} ஆகும்.
 
*{{math|''A''}}, {{math|''B''}} ஆகிய இரண்டின் '''[[வெட்டுகணம்]]''' என்பது {{math|''A'' ∩ ''B''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. இது {{math|''A''}}, {{math|''B''}} ஆகிய இரண்டிலும் பொதுவாக அமையும் உறுப்புகளின் கணம் ஆகும். {{math|{1, 2, 3} }}, {{math|{2, 3, 4} }} ஆகிய இரண்டு கணங்களின் வெட்டுகணம் என்பது {{math|{2, 3} }} ஆகும்.
*{{math|''U''}}, {{math|''A''}} ஆகிய இரண்டின் '''[[வேறுபாட்டுக் கணம்]]''' என்பது {{math|''U'' \ ''A''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது, {{math|''A''}} எனும் கணத்தில் உறுப்புகளாக அமையாத, {{math|''U''}} வின் அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். எனவே, {{math|{1, 2, 3} \ {2, 3, 4} }} என்பதன் வேறுபாட்டுக் கணம் {{math|{1} }} ஆகும்; மாறாக, அதே நேரத்தில், {{math|{2, 3, 4} \ {1, 2, 3} }}என்பதன் வேறுபாட்டுக் கணம் {{math|{4} }} ஆகும். இங்கு, {{math|''A''}} என்பது {{math|''U''}} என்பதன் உட்கணமானால், அப்போது {{math|''U'' \ ''A''}} என்பது {{math|''U''}}வில் {{math|''A''}}வின் '''[[மிகைநிரப்புக் கணம்]]''' என அழைக்கப்படும். இந்நேர்வில், சூழல் சார்ந்த {{math|''U''}} கணத்தின் தேர்வு தெளிவாக அமைந்தால், {{math|''A''<sup>''c''</sup>}} எனும் குறிமானம், சிலவேளைகளில் குறிப்பாக {{math|''U''}}, வென்ன் விளக்கப்படங்களில் அமைதலைப் போல, அனைத்துப்பொதுக் கணமாக அமையும்போது, {{math|''U'' \ ''A''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படும்.▼
 
*{{math|''A''}}, {{math|''B''}} ஆகிய இரண்டின் '''[[சீரொருமை வேறுபாட்டுக் கணம்]]''' {{math|''A'' △ ''B''}} அல்லது {{math|''A'' ⊖ ''B''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது {{math|''A''}} இலும் {{math|''B''}} இலும் ஏதாவதொன்றில் மட்டும் ஓர் உறுப்பாக (இரண்டிலும் அமையாமல் ஆனால், ஏதாவது ஒன்றில் மட்டுமே அமையும் உறுப்புகள்) அமையும் அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2, 3} }}, {{math|{2, 3, 4} }} ஆகிய கணங்களின் சீருமை வேறுபாட்டுக் கணம் {{math|{1, 4} }} என்பதாகும். இது ஒன்றிய கணம், வெட்டு கணம் ஆகிய இரண்டின் வேறுபாட்டுக் கணம் ஆகும். ▼
▲*{{math|''U''}}, {{math|''A''}} ஆகிய இரண்டின் '''[[வேறுபாட்டுக் கணம்]]''' என்பது {{math|''U'' \ ''A''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது, {{math|''A''}} எனும் கணத்தில் உறுப்புகளாக அமையாத, {{math|''U''}} வின் அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். எனவே, {{math|{1, 2, 3} \ {2, 3, 4} }} என்பதன் வேறுபாட்டுக் கணம் {{math|{1} }} ஆகும்; மாறாக, அதே நேரத்தில், {{math|{2, 3, 4} \ {1, 2, 3} }}என்பதன் வேறுபாட்டுக் கணம் {{math|{4} }} ஆகும். இங்கு, {{math|''A''}} என்பது {{math|''U''}} என்பதன் உட்கணமானால், அப்போது {{math|''U'' \ ''A''}} என்பது {{math|''U''}}வில் {{math|''A''}}வின் '''[[மிகைநிரப்புக் கணம்]]''' என அழைக்கப்படும். இந்நேர்வில், சூழல் சார்ந்த {{math|''U''}} கணத்தின் தேர்வு தெளிவாக அமைந்தால், {{math|''A''<sup>''c''</sup>}} எனும் குறிமானம், சிலவேளைகளில் குறிப்பாக {{math|''U''}}, வென்ன் விளக்கப்படங்களில் அமைதலைப் போல, அனைத்துப்பொதுக் கணமாக அமையும்போது, {math|''U'' \ ''A''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படும்.
 
▲*{{math|''A''}}, {{math|''B''}} ஆகிய இரண்டின் '''[[சீரொருமை வேறுபாட்டுக் கணம்]]''' {{math|''A'' △ ''B''}} அல்லது {{math|''A'' ⊖ ''B''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது {{math|''A''}} இலும் {{math|''B''}} இலும் ஏதாவதொன்றில் மட்டும் ஓர் உறுப்பாக (இரண்டிலும் அமையாமல் ஆனால், ஏதாவது ஒன்றில் மட்டுமே அமையும் உறுப்புகள்) அமையும் அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2, 3} }}, {{math|{2, 3, 4} }} ஆகிய கணங்களின் சீருமை வேறுபாட்டுக் கணம் {{math|{1, 4} }} என்பதாகும். இது ஒன்றிய கணம், வெட்டு கணம் ஆகிய இரண்டின் வேறுபாட்டுக் கணம் ஆகும்.
 
*{{math|''A''}}, {{math|''B''}} ஆகிய இரண்டின் '''[[கார்ட்டீசியப் பெருக்கல் கணம்]]''' என்பது {{math|''A'' × ''B''}} எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது {{math|(''a'', ''b'')}} எனும் கணத்தின் அனைத்து வாய்ப்புள்ள வரிசைப்படுத்தல் இணைகள் உறுப்புகளாக அமைந்த கணமாகும். இங்கு, {{math|''a''}} என்பது {{math|''A''}} வின் உறுப்பாகும்; {{math|''b''}} என்பது {{math|''B''}} யின் உறுப்பாகும். {{nowrap|1={1, 2}, {red, white} என்பதன் கார்ட்டீசியப் பெருக்கல் கணம் {(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)} என்பதாகும்.}}
*{{math|''A''}} கணத்தின்'''[[ படியேற்றக் கணம்]]''' என்பது {{math|''A''}} கணத்தின் அனைத்து வாய்ப்புள்ள உட்கணங்கள் உறுப்புகளாக அமைந்த கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2} }} கணத்தின் படியேற்றக் கணம் {{math|{ {}, {1}, {2}, {1, 2} } }} என்பதாகும்.▼
 
▲*{{math|''A''}} கணத்தின்'''[[ படியேற்றக் கணம்]]''' என்பது {{math|''A''}} கணத்தின் அனைத்து வாய்ப்புள்ள உட்கணங்கள் உறுப்புகளாக அமைந்த கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, {{math|{1, 2} }} கணத்தின் படியேற்றக் கணம் {{math|{ {}, {1}, {2}, {1, 2} } }} என்பதாகும்.
 
 
சில முதன்மையான அடிப்படை கணங்களாக, [[வெற்றுக்கணம்]] (இது உறுப்புகள் இல்லாத தனிதன்மை வாய்ந்த கணம் ஆகும்; சிலவேளைகளில் இது ''இன்மைக் கணம்'' எனப்படுவதுண்டு; பின்னது சற்றே குழப்பமானதாகும்), [[இயல் எண்]]களின் கணம், [[மெய் எண்]]களின் கணம் ஆகியவை அமைகின்றன.
வரி 78 ⟶ 72:
{{கணிதத்தின் முக்கிய துறைகள்}}
 
{[[பகுப்பு:கணக் கோட்பாடு| ]]▼
 
▲{[[பகுப்பு:கணக் கோட்பாடு| ]]
[[பகுப்பு:கணித ஏரணம்| ]]
[[பகுப்பு:குறியீட்டு முறைகள்]]
"https://ta.wikipedia.org/wiki/கணக்_கோட்பாடு" இலிருந்து மீள்விக்கப்பட்டது