நியமவிலகல்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி பராமரிப்பு using AWB |
|||
வரிசை 1:
[[படிமம்:standard deviation diagram.svg|325px|thumb|[[இயல்நிலைப் பரவல்]] வரைபடத்தில் ஒவ்வொரு வண்ணமிடப்பட்ட பட்டையும் 1 நியமவிலகல் அகலம் கொண்டுள்ளது.]]
[[படிமம்:Standard deviation illustration.gif|frame|right|சராசரி 50 (நீலநிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது) கொண்ட தரவுத் தொகுதியின் நியமவிலகல் (σ) 20.]]
[[புள்ளியியல்]] மற்றும் [[நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு|நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில்]], '''நியமவிலகல்''' அல்லது '''திட்ட விலக்கம்''' (''standard deviation'', ''σ'') என்பது, ஒரு தரவிலுள்ள ஒவ்வொரு மதிப்பும் அத்தரவின் [[சராசரி மதிப்பு|சராசரி மதிப்பிலிருந்து]] எவ்வளவு விலகி உள்ளது என்பதைக் கணிப்பதாகும். இக்கருத்துரு, [[நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு]], புள்ளிவிவர தொகுப்பாக்கம், நிகழ்தகவுப் பரவல் (probability distribution) ஆகிய பல துறைகளில் அடிப்படைக் கருத்தாகப் பயன்படுகின்றது. நியமவிலகல், [[பரவற்படி]]யின் வர்க்கமூலமாக அமைகிறது. பரவற்படி போன்று இல்லாமல், தரவின் அலகிலேயே அமைவது, நியமவிலகலின் ஒரு சிறப்புப் பண்பு.
தரவின் ஒவ்வொரு தரவுப் புள்ளியும் அத் தரவின் சராசரியில் இருந்து மாறுபடும் அளவினை [[வர்க்கம்|வர்க்கப்படுத்தி]], பின் அவ்வாறு கிடைக்கும் வர்க்கங்களின் சராசரியின் [[வர்க்கமூலம்]] காணக் கிடைக்கும் அளவு, அத்தரவின் நியமவிலகல் ஆகும். ’மாறுபாடு’ அல்லது ’பரவல்’ ன் அளவீடாக நியமவிலகல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பொதுவாகச், சராசரியிலிருந்து தரவு எந்தளவிற்கு மாறுபட்டிருக்கிறது என்பதை நியமவிலகலின் மதிப்புக் காட்டுகிறது. குறைவான நியமவிலகல், தரவுப் புள்ளிகள் சராசரிக்கு மிகவும் நெருங்கிச் செல்பவையாக இருப்பதையும், அதிக அளவு நியமவிலகல் தரவு பரந்து விரிந்திருக்கிறது என்பதையும் காட்டும்.
வரிசை 45:
அமெரிக்காவில் ஒரு வயது வந்த ஆணின் உயரத்தின் சாராசரி 70", நியமவிலகல் 3", மேலும் அமெரிக்க வயதுவந்த ஆண்களின் உயரம் என்னும் சமவாய்ப்புமாறி ஒரு இயல்நிலைப் பரவலாக அமையுமானால்:
அமெரிக்காவிலுள்ள ஆண்களின் உயரம் பின்வருமாறு அமையும்:
* 68 சதவீதத்தினரின் உயரம் (70-3,70+3) = (67"–73") இடைவெளியிலும்
வரிசை 58:
:<math>\operatorname{E}[X] = \mu\,\!</math>
இங்கு செயலி ''E'', ''X'' இன் சராசரி அல்லது எதிர்பார்ப்பு மதிப்பைக் குறிக்கிறது.
''X'' இன் '''நியமவிலகல்''' பின்வருமாறு அமைகிறது:
வரிசை 69:
====தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி====
தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் மதிப்புகள் <math>x_1, x_2, \ldots, x_N</math> ஆகவும் அவற்றுக்கான நிகழ்தகவுகள் சமமாகவும் அமைந்தால் ''X'' இன் நியமவிலகல்:
:<math>\sigma = \sqrt{\frac{(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \cdots + (x_N - \mu)^2}{N}},</math>
வரிசை 112:
:<math>\sqrt{36} = 6.\,</math>
ஆகவே இந்த தரவின் நியமவிலகல் 6 ஆகும்.
இந்த எடுத்துக்காட்டின் படி கிடைக்கும் நியமவிலகலானது பொதுவாக தனிய மாறுபாடு (absolute deviation) என்னும் மற்றொரு கணக்கீடு தரும் சராசரி விலகலில் இருந்து மாறுபடுகின்றது என்பதையும் காட்டும் (இந்தத் தனிய மாறுபாடு இவ்வெடுத்துக்காட்டில் 5 ஆக உள்ளது; இந்தத் தனிய மாறுபாடு என்பது சராசரியில் இருந்து தரவுகள் மாறுபடும் அளவை இருமடியாக்காமல் அதன் திசைநீக்கிய பரும அளவை மட்டும் காணும் முறை).
வரிசை 139:
:<math> s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}, </math>
<math>\scriptstyle\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_N\}</math> மாதிரியாகவும் <math>\scriptstyle\overline{x}</math> அதன் சராசரியாகவும் உள்ளன. இது ''மாதிரி நியமவிலகல்'' என அழைக்கப்படுகிறது.
''N'' − 1 என்ற வகுக்கும் எண் மீதிகளின் திசையன்களின் சுதந்திர அளவுகளின் எண்ணுக்கு ஒத்ததாக உள்ளது.
:<math>\scriptstyle(x_1-\overline{x},\,\dots,\,x_N-\overline{x})</math>.
''N'' க்கு பதிலாக ''N'' − 1 ஐ பயன்படுத்தும் இந்த சரிசெய்தல், ''பெஸல்ஸ் சரிசெய்தல்'' எனப்படுகிறது. முழுமைத்தொகுதியிலிருந்து மாதிரித் தரவின் உறுப்புகள் திருப்பி வைக்கப்படும் முறையில் சார்பிலா முறையில் எடுக்கப்பட்டிருந்தால், முழுமைத்தொகுதியின் நியமவிலகல் σ<sup>2</sup> க்கான நடுநிலையான மதிப்பானாக ''s'' <sup>2</sup> இருக்கிறது என்பதே இந்த சரிசெய்தலுக்கான காரணமாகும்.
வரி 158 ⟶ 157:
: <math> \operatorname{stdev}(cX) = |c|\,\operatorname{stdev}(X) \,, </math>
இரு சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலின் நியமவிலகலை அவற்றின் தனித்தனி நியமவிலகல்கள் மற்றும் அவற்றின் உடன் மாறுபாட்டெண்ணுடன் தொடர்புபடுத்தலாம்:
: <math> \operatorname{stdev}(X + Y) = \sqrt{\operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y) + 2\operatorname{cov}(X,Y)} \,, </math>
வரி 185 ⟶ 184:
மற்றொரு உதாரணத்தில், தொகுப்பாக்கம் {1000, 1006, 1008, 1014} மீட்டர்களில் அளவிடப்பட்ட நான்கு தடகள வீரர்கள் கடந்த தொலைவுகளைக் குறிப்பிடுகிறது. இது இடைநிலையாக 1007 மீட்டர்கள் மற்றும் நியமவிலகல் 5 மீட்டர்களைக் கொண்டிரு்க்கிறது.
நியமவிலகல் நிச்சயமின்மையின் அளவீடாகவும் செயல்படலாம். இயற்பியலில், திரும்ப நிகழும் அளவீடுகளின் தெரிவிக்கப்பட்ட நியமவிலகல் அந்த அளவீடுகளின் துல்லியத்தைக் காட்டும். கோட்பாட்டுரீதியான முன்னூகிப்புடன் அளவீடுகள் உடன்படுகின்றனவா என்பதைத் தீர்மானிக்கும்போது அந்த அளவீடுகளின் நியமவிலகல் மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்ததாகிறது: அளவீடுகளின் சராசரி முன்னூகிப்பிலிருந்து வெகு தொலைவில் இருந்தால் (தொலைவு நியமவிலகலின் அளவில் கணக்கிடப்படும்போது), பரிசோதிக்கப்படும் கோட்பாட்டை அநேகமாக திருத்த வேண்டியிருக்கும். முன்னூகிப்பு சரியானதாக இருந்து நியமவிலகல் உரிய முறையில் அளவுரு செய்யப்பட்டிருந்தால் நியாயமான முறையில் எதிர்பார்க்கக்கூடிய மதிப்புக்களின் அளவுகளைத் தாண்டி அவை செல்கின்றன என்பதால் இது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது.
=== பயன்பாடு உதாரணம் ===
வரி 212 ⟶ 211:
=== வடிவகணித பொருள் விளக்கம் ===
நியமவிலகலின் வடிவகணித விளக்கம் காண, ''x'' <sub>1</sub>, ''x'' <sub>2</sub>, ''x'' <sub>3</sub> மதிப்புகளுடைய தரவை எடுத்துக் கொள்ளலாம். இவை '''R''' <sup>3</sup> இல், ஒரு புள்ளி ''P'' = (''x'' <sub>1</sub>, ''x'' <sub>2</sub>, ''x'' <sub>3</sub>) ஐக் குறிக்கும். ''L'' = {({0}r, ''r'' , ''r'' ) : ''r'' in '''R''' } தரும் கோட்டையும் கணக்கில் கொள்ள, இது [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதிப்புள்ளி]] வழியாக செல்லும் "முக்கிய மூலைவிட்டமாகும்".
எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று மதிப்புகள் ''x'' <sub>1</sub>, ''x'' <sub>2</sub>, ''x'' <sub>3</sub> சமமானவையாக இருந்தால் இத்தரவின் நியமவிலகல் பூச்சியமாகவும், புள்ளி ''P'' ஆனது ''L'' கோட்டிலும் இருக்கும். எனவே நியமவிலகலானது ''P'' முதல் ''L'' வரையிலான ''தொலைவிற்கு'' தொடர்புடையதாக இருக்கிறது.
<math>\overline{x}</math> என்பது எடுத்துக்கொண்ட மூன்று மதிப்புகளின் சராசரி எனில், ''P'' இல் இருந்து ''L'' கோட்டிற்குள்ள செங்குத்து தொலைவு, கோட்டின் மீதுள்ள புள்ளி <math>R = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})</math> க்கும், புள்ளி ''P'' க்கும் இடையேயுள்ள தொலைவாகும். இத்தொலைவு, ''x'' <sub>1</sub>, ''x'' <sub>2</sub>, ''x'' <sub>3</sub> திசையனின் நியமவிலகலை அத்திசையனின் பரிமாண எண்ணால் பெருக்கக் கிடைக்கும். அதாவது:
::<math>PR = \sqrt3 \sigma </math>
வரி 260 ⟶ 259:
*அதன் 95 சதவீதத் தரவுகள் அதன் சராசரியின் இருபுறமும் இரு நியமவிலகல் அகல அளவில் (அதாவது μ ± 2σ) அமைந்திருக்கும்.
*அதன் 99.7 சதவீதத் தரவுகள் அதன் சராசரியின் இருபுறமும் மூன்று நியமவிலகல் அகல அளவில் (அதாவது μ ± 3σ) அமைந்திருக்கும்.
இது [[68-95-99.7 விதி]] என அழைக்கப்படுகிறது.
''z'' இன் பல்வேறு மதிப்புக்களுக்கு, சீரமைப்பு இடைவெளி (−''z'' σ, ''z'' σ) இன் உள்ளாகவும் வெளியிலும் அமையக்கூடிய மதிப்புக்களின் சதவிகிதம் பின்வருமாறு:
வரி 327 ⟶ 326:
== நியமவிலகலிற்கும் இடைநிலைக்கும் இடையிலுள்ள உறவு ==
ஒரு தரவுத் தொகுதியின் இடைநிலை மற்றும் நியமவிலகல்கள் சேர்ந்தே தெரிவிக்கப்படுகின்றன. ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளில், தரவின் மையம் ஏறத்தாழ சராசரிக்கு அண்மையில் அமையுமானல் தரவுகள் எந்த அளவு பரந்து அமைந்திருக்கின்றன என்பதை நியமவிலகல் அளவீடாகத் தருகிறது.
*சராசரியிலிருந்து கணக்கிடப்படும் நியமவிலகல், வேறு எந்த புள்ளியிலிருந்தும் கணக்கிடப்படும் நியமவிலகலை விடச் சிறியதாக இருக்கும்.
''x'' <sub>1</sub>, ..., ''x'' <sub>''n'' </sub> [[மெய்யெண்]]களாகக் கொண்டு கீழ்க்காணும் [[சார்பு]] வரையறுக்கப்பட்டால்:
வரி 337 ⟶ 336:
[[வகை நுண்கணிதம்]] அல்லது வர்க்க நிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்தி சராசரி <math>r = \overline{x}\,</math> இல், சார்பு <math>\sigma(r)</math> தனித்ததொரு [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|சிறும மதிப்பைக்]] கொண்டிருக்கும் எனக் காட்டலாம்.
*மாறுபாட்டுக் கெழு (CV)
நியமவிலகலுக்கும் சராசரிக்குமான விகிதமாக மாறுபாட்டுக் கெழு வரையறுக்கப்படுகிறது.
வரி 343 ⟶ 342:
*சராசரியின் துல்லியம்
சராசரியின் துல்லியத்தை சராசரியின் நியமவிலகல் மூலம் கணக்கிடலாம்.
சராசரியின் நியமவிலகல்:
| |||