நேர்மாறுச் சார்பு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 1:
[[Image:Inverse Function.png|thumb|right|சார்பு ƒ மற்றும் அதன் நேர்மாறு ƒ<sup>–1</sup>. ƒ, ''a'' -ஐ 3 -ஆக மாற்றுகிறது. அதன் நேர்மாறு ƒ<sup>–1</sup>, மறுபடி 3 -ஐ ''a'' -ஆக மாற்றுகிறது.]]
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''நேர்மாறுச் சார்பு''' (''inverse function'') என்பது ஒரு [[சார்பு|சார்பினால்]] ஏற்படக்கூடிய விளைவை இல்லாமல் செய்யக்கூடிய விளைவுடைய மற்றதொரு சார்பாகும். ''x'' எனும் உள்ளீட்டின் ƒ சார்புக்குரிய வெளியீடு ''y'' எனில் நேர்மாறுச் சார்பு ''g'' ஆனது ''y'' -ஐ உள்ளிடாகவும் ''x'' -ஐ வெளியீடாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது:
:ƒ(''x'')=''y'' எனில், ''g''(''y'')=''x''.
வரிசை 23:
''நேர் மாறல் சார்பு'' :
:<math> y = kx.</math>
இச்சார்பில் அமைந்துள்ள கணிதச் செயல் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]]. பெருக்கல் செயலுக்கு எதிர் கணிதச் செயல் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தல்]]. பெருக்கலுக்குப் பதில் வகுத்தலைப் பயன்படுத்த இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக எதிர் மாறல் சார்பு கிடைக்கின்றது.
''எதிர்மாறல் சார்பு'':
வரிசை 34:
[[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கச்]] சார்பின் ஆட்களத்தைப் பொறுத்து அது நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். அதாவது [[வர்க்கமூலம்|வர்க்கமூலச்]] சார்பு அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.
ஆட்களம் [[மெய்யெண்]] கணமாக இருந்தால் வீச்சில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு முன்னுருக்கள் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.( எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் -5 இரண்டின் வர்க்கமும் 25 தான்.) எனவே நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.
ஆட்களம் எதிரெணில்லா மெய்யெண்களின் கணமாக இருந்தால் வர்க்கச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வர்க்கமூலச் சார்பு அமையும்.
வரிசை 50:
ƒ<sup>−1</sup>(''x''), ƒ(''x'')<sup>−1</sup> இரண்டும் ஒன்றல்ல. ƒ<sup>−1</sup>(''x'') -லுள்ள "−1" அடுக்கைக் குறிக்காது. நேர்மாறுச் சார்பைப் போலவே [[தொடரும் சார்பு]]களும் (iterated function) குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ƒ<sup>2</sup> என்பது சார்பு ƒ -ஐ இருமுறைத் தொடர்ந்து செயல்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,
{{nowrap|1= ƒ(''x'') = ''x''<sup>2</sup> − 1}} எனில்:
{{nowrap|1= ƒ<sup>2</sup>(''x'') =}} {{nowrap|1= ƒ(ƒ(''x'')) =}} {{nowrap|1= ƒ(''x''<sup>2</sup> − 1) =}} {{nowrap|1= (''x''<sup>2</sup> − 1)<sup>2</sup> − 1 =}} {{nowrap|''x''<sup>4</sup> − 2''x''<sup>2</sup>}}.
குறியீட்டில் இத்தொடர் செயல்முறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்:
வரிசை 74:
===சமச்சீர்===
ஒரு சார்பும் அதன் நேர்மாறு சார்புக்கும் இடையே ஒரு சமச்சீர்த்தன்மை உள்ளது.
ஆட்களம் ''X'' மற்றும் வீச்சு ''Y'' கொண்ட சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ<sup>−1</sup> -ன் ஆட்களம் ''Y'' கணமாகவும் வீச்சு ''X'' கணமாகவும் இருக்கும். மேலும் ƒ<sup>−1</sup> -ன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ ஆக இருக்கும்.
ƒ சார்பின் ஆட்களம் ''X'' மற்றும் வீச்சு ''Y''. ''g'' சார்பின் ஆட்களம் ''Y'' மற்றும் வீச்சு ''X'' எனில்:
வரிசை 95:
எடுத்துக்காட்டு:
:{{nowrap|1= ''f''(''x'') = 3''x''}}
:{{nowrap|1= ''g''(''x'') = ''x'' + 5}}.
சேர்ப்பு சார்பு {{nowrap| ''g'' <small>o</small> ''f''}} என்பது முதலில் மூன்றால் பெருக்கிப் பின் ஐந்தைக் கூட்டும் விளைவை ஏற்படுத்தும் சார்பு.:
வரிசை 182:
|-
|}
===நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு===
''y'' = ƒ(''x'') என்ற சார்பின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து ''x'' -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்தால் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ<sup>−1</sup> -ன் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு:
:<math>f(x) = (2x + 8)^3 \,\!</math>
வரி 251 ⟶ 250:
:<math> f^{-1}\left( \, f(C) \, \right) = f^{-1}\left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) = \tfrac59 \left( \left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) - 32 \right) = C\text{, for every }C\text{.} </math>
*ƒ என்பது ஒரு குடும்பத்திலுள்ள ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் அதன் பிறந்த ஆண்டினைத் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு சார்பு எனில் அச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டில் எந்தக் குழந்தை பிறந்தது என்ற தொடர்பைத் தரும் சார்பு.
ஆனால் அக்குடும்பத்தில் இரட்டைக் குழந்தகள் பிறந்திருந்தால் ƒ சார்பு இரு குழந்தைகளை ஒரே ஆண்டுடன் தொடர்பு படுத்தும். அப்போது இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இராது. அதனால் அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு அமையாது.
அதேபோல அக்குடும்பத்தில் குழந்தைகள் பிறக்காத ஆண்டுகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் அதனை ஒரு குழந்தையுடன் தொடர்பு படுத்தும் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்காது என்பதால் இந்நிலையிலும் ƒ -க்கு நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.
எனவே ஒவ்வொரு குழந்தையும் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் பிறந்திருந்து அந்த ஆண்டுகளை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.
வரி 273 ⟶ 272:
:<math>f(x) = x^2\,\!</math>
:<math>\pm x\in\mathbb{R},</math> இரண்டின் வர்க்கமும் ஒரே எண் என்பதால் இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு அல்ல. ஆனால் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை {{nowrap| ''x'' ≥ 0}} எனக் கட்டுப்படுத்தினால் (:<math>f\colon \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}</math> என வரையறுத்தால்) ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாகிவிடும். அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பும் இருக்கும்.
:<math>f^{-1}(y) = \sqrt{y} . </math>
வரி 287 ⟶ 286:
:<math>g(y) = g(f(x)) = x. </math>
ƒ சார்பின் வீச்சின் மீது நேர்மாறுச் சார்பு f<sup>
*ƒ: ''X'' → ''Y'' சார்பின் ''வலது நேர்மாறுச் சார்பு'' {{nowrap| ''h'' : ''Y'' → ''X''}} என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:
வரி 308 ⟶ 307:
:<math>g(x) = \sqrt{x}, </math> x≥0 எனில்:
:<math>f(g(x)) = x,</math> <math>\forall x\in [0,\infty),</math>
அதாவது ƒ -ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பு ''g'' . ஆனால் அது ƒ -ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பு அல்ல. ஏனெனில் :<math>g(f(-1)) = 1 \not = -1. </math>
வரி 331 ⟶ 330:
| isbn = 978-0-534-39339-7
}}
[[பகுப்பு:கணிதம்]]
| |||