தொடர்ச்சியான சார்பு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி தானியங்கிஇணைப்பு category நுண்கணிதம் |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 1:
கணிதத்தில் '''தொடர்ச்சியான சார்பு''' (''continuous function'') என்ற கருத்தினை எளிதாகப் புரிந்து கொள்வதற்கு, உள்ளீடுகளில் ஏற்படும் சிறிய மாற்றங்களுக்கு வெளியீடுகளிலும் சிறிய மாற்றங்களைக் கொண்ட [[சார்பு]], ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு எனக் கொள்ளலாம். அவ்வாறில்லாத சார்பு, '''தொடர்ச்சியற்ற சார்பு''' (''discontinuous function'') எனப்படும். ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பின் [[நேர்மாறுச் சார்பு]]ம் தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால் அச் சார்பு ''இரட்டைத் தொடர்ச்சியானது (bicontinuous).
எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வளரும் செடியின் உயரத்தைக் குறிக்கும் சார்பு ''h''(''t'') (இங்கு ''t'' காலத்தைக் குறிக்கிறது) ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு. மாறாக ஒரு வங்கிக் கணக்கிலுள்ள பணத்தின் அளவைக் குறிக்கும் சார்பு ''M''(''t'') தொடர்ச்சியற்ற சார்பு.
== வரலாறு ==
முதன்முதலாக 1817 ஆம் ஆண்டில் பொஹிமிய கணிதவியலாளர் பெர்னார்டு பொசானோவால், தொடர்ச்சியான சார்பின் [[(ε, δ)-எல்லையின் வரையறை|எப்சிலான்-டெல்ட்டா வரையறை]] அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷி எல்லையின் வரையறையின் முன்வடிவைத் தந்தார்.<ref name="grabiner">{{Cite journal|doi=10.2307/2975545|title=Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus|first=Judith V.|last=Grabiner|journal=The [[American Mathematical Monthly]]|month=March|year=1983|volume=90|issue=3|pages=185–194|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf|postscript=.|jstor=2975545|archiveurl=http://web.archive.org/web/20030330014235/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf|archivedate=2003-03-30}}</ref>
தொடர்ச்சியான சார்புக்கான கோஷியின் வரையறை:
வரிசை 10:
''f'' எனும் தொடர்ச்சியான சார்பு எனில் அதன் [[சார் மாறியும் சாரா மாறியும்|சாரா மாறி]] ''x'' இல் ஏற்படக்கூடிய மிகமிகச் சிறிய மாற்றத்தால் ''f''(''x'') இல் ஏற்படும் மாற்றத்தின் அளவு மிகமிகச் சிறியதாகவே இருக்கும்.
தொடர்ச்சியான சார்பின் வரையறையும் புள்ளிவாரியான தொடர்ச்சிக்கும் [[சீரான தொடர்ச்சி]]க்கும் உள்ள வேறுபாடும் 1830 ஆம் ஆண்டு பொல்சானோவால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டாலும், அவை 1930 வரை படைப்புகளாக வெளியிடப்படவில்லை. 1872 இல் ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் எடார்டு ஹெயினால் (Eduard Heine) முதன்முதலாக சீரான தொடர்ச்சியின் முறையான வரையறையை வெளியிட்டார்.
== தொடர்ச்சியான மெய்மதிப்புச் சார்புகள் ==
வரிசை 28:
====சார்புகளின் எல்லைகள் வாயிலாக வரையறை====
சார்பு ''f'' , அதன் ஆட்களத்திலமைந்த ஒரு புள்ளி ''c'' இல் தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க வேண்டுமானால், ''x'' இன் மதிப்பு ''c'' ஐ அணுகும்போது [[சார்பு எல்லை|சார்பின் எல்லைமதிப்பு]] இருக்க வேண்டும்; மேலும் அந்த எல்லை மதிப்பு ''f''(''c'') ஆகவும் இருக்க வேண்டும்.<ref>{{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Undergraduate analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Undergraduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94841-6 | year=1997}}, section II.4</ref>
கணிதக் குறியீட்டில்:
வரிசை 41:
====தொடர்முறைகளின் எல்லைகள் வாயிலாக====
<math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> தொடர்முறை ''c'' க்கு [[ஒருங்கும் தொடர்முறை|ஒருங்கினால்]], அதன் ஒத்த [[தொடர்வரிசை]] <math>\left (f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}},</math> ''f''(''c'') -க்கு ஒருங்கும்.
கணிதக் குறியீட்டில்:
வரிசை 48:
====வியர்ஸ்ட்ராஸ் வரையறை (ε-δ) ====
[[File:Example of continuous function.svg|right|thumb|ε-δ-வரையறையின் விளக்கம்: ε=0.5, c=2 எனில், δ=0.5 வரையறையின் நிபந்தனையை நிறைவு செய்கிறது.]]
சார்பு ''f'' இன் ஆட்களம் ''I'' இன் ஒரு புள்ளி ''c'' எனில் பின்வருமாறு இருந்தால் ''c'' புள்ளியில் ''f'' ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்கும்:
''f'' இன் ஆட்களத்திலுள்ள அனைத்து ''x'' க்கும்,
:<math> c - \epsilon < x < c + \epsilon.</math> எனில்,
:<math> f(c) - \epsilon < f(x) < f(c) + \epsilon.</math>
என்றிருக்குமாறு ''ε'' > 0 என்ற எண் எவ்வளவு சிறியதாக இருப்பினும், ''δ'' > 0 என்ற எண்ணைக் காண முடியும்.
மாற்றாக,
''f'' : ''I'' → ''R'' , ''c'' ∈ ''I'' புள்ளியில் தொடர்ச்சியான சார்பு எனில், ஒவ்வொரு ''ε'' > 0 இன் மதிப்பிற்கும் கீழேதரப்பட்டுள்ள கூற்று உண்மையாக இருக்கும்படி ஒரு ''δ'' > 0 ஐக் காணமுடியும்:
:<math>| x - c | < \delta \Rightarrow | f(x) - f(c) | < \varepsilon. , \forall x \in I \, </math>
வரிசை 83:
எடுத்துக்காட்டாக,
:<math>f(x) = \frac {2x-1} {x+2}</math> சார்பு {{nowrap|''x'' ≠ −2}} ஐத் தவிர ஏனைய மெய்யெண்கள் அனத்திற்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது; மேலும் அது எல்லாப் புள்ளிகளிலும் தொடர்ச்சியானது. {{nowrap|''x'' {{=}} −2}} என்ற புள்ளி சார்பின் ஆட்களத்தில் இல்லை என்பதால் இப்புள்ளியில் சார்பு தொடர்ச்சியானதா இல்லையா என்ற கேள்விக்கே இடமில்லை.
''g''(''x'') = (sin ''x'')/''x'', ''x''≠0 ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு. இச்சார்பை கீழ்க்காணுமாறு வரையறுப்பதால் அதனை அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் தொடர்ச்சியானதாக்கலாம்.
வரிசை 92:
1 & \text{ if }x = 0,
\end{cases}
</math>
(ஏனெனில் <math>\lim_ {x \to 0} g(x) = 1 </math>)
வரிசை 150:
====அறுதி மதிப்புத் தேற்றம்====
[[அறுதி மதிப்புத் தேற்றம்|அறுதி மதிப்புத் தேற்றத்தின்]] கூற்று: மூடிய இடைவெளி [''a'',''b''] இல் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு ''f'' அந்த இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானதாகவும் இருப்பின்
:<math> f(c) \ge f(x), \forall x \in [a , b] </math> என்றவாறு ஒரு ''c'' ∈ [''a'',''b''] இருக்கும். அதாவது ஒரு [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|பெரும மதிப்பு]] இருக்கும்.
வரிசை 160:
====வகையிடல், தொகையிடலுடன் தொடர்பு====
மெய்யெண்கள் கணத்திலிருந்து மெய்யெண்கள் கணத்துக்கு வரையறுக்கப்பட்ட (<math> f\colon (a, b) \rightarrow \mathbf R</math>) [[வகையிடத்தக்க சார்பு]]கள் எல்லாம் தொடர்ச்சியானவையாகவும் இருக்கும்.
ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையில்லை. அதாவது தொடர்ச்சியான சார்புகள் எல்லாம் வகையிடத்தக்கவையாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக [[
:<math>f(x)=|x| = \begin{cases}
x \text{ if }x \geq 0\\
-x\text{ if }x < 0
\end{cases}</math> எல்லாவிடங்களிலும் தொடர்ச்சியானது; ஆனால் ''x'' = 0 இல் வகையிடக் கூடியதில்லை. (''x'' = 0 தவிர்த்த ஏனைய எல்லாப் புள்ளிகளிலும் வகையிடத் தக்கது.)
ஒரு வகையிடத்தக்கச் சார்பு ''f''(''x'') இன் [[வகைக்கெழு]] ''f′''(''x'') தொடர்ச்சியானதாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. அவ்வாறிருந்தால், ''f''(''x'') தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கச் சார்பு ஆகும். தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் கணத்தின் குறியீடு: ''C''<sup>1</sup>(''a'', ''b'').
பொதுவாக,
:<math>f\colon \Omega \rightarrow \mathbf R</math> எனும் சார்பு
( Ω, '''R''' இன் ஒரு திறந்த இடைவெளி) ''n'' தடவைகள் வகையிடத்தக்கதாய் இருந்து அதன் ''n''-ஆம் வகைக்கெழு தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால் அதன் குறியீடு: ''C''<sup>''n''</sup>(Ω).
மெய்யெண்களின் கணத்தின் ஒரு மூடிய இடைவெளியிலிருந்து மெய்யெண்களின் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் தொடர்ச்சியான சார்புகள்
| |||