ஈருறுப்பு உறவு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி Replacing deprecated latex syntax mw:Extension:Math/Roadmap |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 1:
கணிதத்தில் ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] மீதான '''ஈருறுப்பு உறவு''' (''binary relation'') என்பது அக்கணத்தின் உறுப்புகளாலான [[வரிசைச் சோடி]]களின் தொகுப்பு ஆகும்.
:அதாவது ''A'' கணத்த்தின் மீது வரையறுக்க்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவானது, ''A'' கணத்தின் [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்|கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின்]] (''A''<sup>2</sup> = {{nowrap|''A'' × ''A''}}) [[கணம் (கணிதம்)#உட்கணம்|உட்கணமாக]] இருக்கும்.
:''A'' , ''B'' எனும் இரு கணங்களுக்கு இடையேயான ஈருறுப்பு உறவு {{nowrap|''A'' × ''B''}} இன் உட்கணம்.
எடுத்துக்காட்டுகள்:
வரிசை 27:
''G'' இல் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிக்கும் வரிசை முக்கியமானது. ''a'' ≠ ''b'' எனில் ''aRb'' , ''bRa'' இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராமல் உண்மையாகவோ அல்லது உண்மையில்லாமலோ இருக்கும். முழுஎண்கள் கணத்தில் ''வகுஎண்'' என்ற ஈருறுப்பு உறவை எடுத்துக்கொண்டால், 3, 9 ஐ வகுக்கும், ''<sub>3</sub>R<sub>9</sub>'' என்பது உண்மை. ஆனால் 9, 3 ஐ வகுக்காது என்பதால் ''<sub>9</sub>R<sub>3</sub>'' என்பது உண்மை இல்லை.
(''X'', ''Y'', ''G'') என்ற மும்மையால் வரையறுக்கப்படும் உறவு சிலசமயங்களில் ''தொடர்பு'' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.<ref>{{cite book |title=Encyclopedic dictionary of Mathematics |publisher=MIT |pages=1330–1331 |year=2000 |isbn=0-262-59020-4 |url=http://books.google.co.uk/books?id=azS2ktxrz3EC&pg=PA1331&hl=en&sa=X&ei=glo6T_PmC9Ow8QPvwYmFCw&ved=0CGIQ6AEwBg#v=onepage&f=false }}</ref>
ஒரே வரைபடம் கொண்ட இரு உறவுகளின் ஆட்களங்களோ அல்லது இணையாட்களங்களோ வெவ்வேறாக இருந்தால் அவ்வுறவுகளும் வெவ்வேறானவை.
வரிசை 73:
</ref>.
ஆட்களம்:
:<math>X = \{x : \exists y : (x,y) \in R \}</math>
வீச்சு:
வரிசை 88:
** விடச் சிறியது அல்லது சமம்
** [[வகுஎண்|வகுக்கும்]]
** [[
*[[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]]கள்
** [[சமன் (கணிதம்)|சமன்]]
வரி 95 ⟶ 94:
** [[இருவழிக்கோப்பு]]
** [[சமஅமைவியம்]]
*[[சார் உறவு]] - ஒரு முடிவுறு, சமச்சீர், எதிர்வு உறவு
*[[சாரா உறவு]] - ஒரு சமச்சீர், எதிர்வற்ற உறவு. சார், சாரா உறவுகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்.
வரி 131 ⟶ 129:
*'''[[கடப்பு உறவு|கடப்பு]]'''
:<math>\forall x, y, z \in X: (xRy \wedge yRz) \Rightarrow xRz</math>
:ஒரு கடப்பு உறவு சமச்சீரற்றதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது எதிர்வற்றதாகும்.<ref>{{cite book|last1=Flaška|first1=V.|last2=Ježek|first2=J.|last3=Kepka|first3=T.|last4=Kortelainen|first4=J.|title=Transitive Closures of Binary Relations I|year=2007|publisher=School of Mathematics – Physics Charles University|location=Prague|page=1|url=http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf}} Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".</ref>
*'''[[முழு உறவு|முழுமை]]'''
வரி 142 ⟶ 140:
:அதாவது, ''xRy'', ''yRx'' , ''x'' = ''y'' ஆகிய மூன்றில் ஏதாவது ஒன்று மட்டுமே உண்மையாகும்.
==ஈருறுப்பு உறவுகள் மீதான செயலிகள்==
வரி 160 ⟶ 157:
* '''[[நேர்மாறு உறவு|நேர்மாறு]]''' அல்லது '''மறுதலை'''
:''R'' இன் நேர்மாறு:
:''R'' <sup>−1</sup> = { (''y'', ''x'') | (''x'', ''y'') ∈ ''R'' }.
:எடுத்துக்காட்டு:
வரி 169 ⟶ 166:
* '''எதிர்வு அடைப்பு ''' - ''R'' <sup>=</sup>
: ''R'' <sup>=</sup> = { (''x'', ''x'') | ''x'' ∈ ''X'' } ∪ ''R''
:இது ''X'' மீது ''R'' ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எதிர்வு உறவு.
* '''எதிர்வு ஒடுக்கம்''' - ''R'' <sup>≠</sup>
வரி 176 ⟶ 173:
* '''கடப்பு அடைப்பு''' - ''R'' <sup>+</sup>
:கடப்பு அடைப்பு உறவானது, ''X'' மீது ''R'' ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய கடப்பு உறவு. இது ''X'' மீது ''R'' ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட கடப்பு உறவுகளின் [[கணம் (கணிதம்)#வெட்டு|வெட்டாக]] இது அமையும்.
===நிரப்பி===
''X'' , ''Y'' மீதான ஈருறுப்பு உறவு ''R'' எனில்:
*''R'' இன் நிரப்பி உறவு ''S'' ம் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.
:''x'' ''S'' ''y'' என்பது உண்மையானால் ''x'' ''R'' ''y'' உண்மையாக இருக்காது.
வரி 198 ⟶ 195:
===ஒடுக்கம்===
''X'' கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு ''R'' இன் ஒடுக்கம் என்பது ''X'' ஐ ஆட்களமாகக் கொள்வதற்குப் பதில் அதன் ஏதேனுமொரு உட்கணத்தை (''S'') ஆட்களமாகக் எடுத்துக்கொண்டால், அந்த உறவு '''''R'' இன் ஒடுக்கம்''' எனப்படுகிறது.
எதிர்வு, எதிர்வற்ற, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, சமானம் ஆகிய ஈருறுப்புறவுகளின் ஒடுக்கங்களும் அதே தன்மையைக் கொண்டிருக்கும்.
| |||