குறுக்குப் பெருக்கு (திசையன்): திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
வரிசை 124:
*இரு அலகு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தின் அளவு = அவ்விரு அலகு திசையன்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு (நேர்மம் அல்லது எதிர்மமாக இருக்கலாம்).
*இரு அலகு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கத்தின் அளவு = அவ்விரு அலகு திசையன்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் சைன் மதிப்பு (நேர்மமாக மட்டுமே இருக்கும்).
=== இயற்கணிதப் பண்புகள் ===
[[File:Cross product scalar multiplication.svg|350px|thumb|Cross product [[scalar multiplication]]. '''Left:''' Decomposition of '''b''' into components parallel and perpendicular to '''a'''. Right: Scaling of the perpendicular components by a positive real number ''r'' (if negative, '''b''' and the cross product are reversed).]]
[[File:Cross product distributivity.svg|350px|thumb|Cross product distributivity over vector addition. '''Left:''' The vectors '''b''' and '''c''' are resolved into parallel and perpendicular components to '''a'''. '''Right:''' The parallel components vanish in the cross product, only the perpendicular components shown in the plane perpendicular to '''a''' remain.<ref>{{cite book|title=Vector Analysis|author1=M. R. Spiegel |author2=S. Lipschutz |author3=D. Spellman |series=Schaum's outlines|year=2009|page=29|publisher=McGraw Hill|isbn=978-0-07-161545-7}}</ref>]]
[[File:Cross product triple.svg|thumb|350px|The two nonequivalent triple cross products of three vectors '''a''', '''b''', '''c'''. In each case, two vectors define a plane, the other is out of the plane and can be split into parallel and perpendicular components to the cross product of the vectors defining the plane. These components can be found by [[vector projection]] and [[vector rejection|rejection]]. The triple product is in the plane and is rotated as shown.]]
இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் ஒரு பூச்சிய திசையன் எனில் ({{nowrap|1='''a''' × '''b''' = '''0'''):
அவ்விரு திசையன்களில் ஏதேனும் ஒரு திசையன் பூச்சியத் திசையனாகவோ ({{nowrap|1='''a''' = '''0'''}} அல்லது {{nowrap|1='''b''' = '''0'''}}) அல்லது இரு திசையன்களும் இணை அல்லது எதிர் இணையானவையாகவோ இருக்கும். ({{nowrap|1=sin''θ'' = 0}} => {{nowrap|1=''θ'' = 0°}} அல்லது {{nowrap|1=''θ'' = 180°}} => {{nowrap|'''a''' ∥ '''b'''}}).
*தன் குறுக்குப் பெருக்கல் ஒரு பூச்சியத் திசையனாகும்:
:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}</math>
*எதிர்பரிமாற்றுத்தன்மை கொண்டது,
:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}),</math>
*கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப்பண்டுடையது:
: <math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{c}),</math>
*திசையிலி பெருக்கத்துடன் இயைபுடையது:
:<math>(r\,\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (r\,\mathbf{b}) = r\,(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).</math>
*[[சேர்ப்புப் பண்பு]] கொண்டதில்லை எனினும் ஜேக்கோபி முற்றொருமையை நிறைவு செய்கிறது:
:<math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}.</math>
*நீக்கல் விதியை நிறைவு செய்வதில்லை:
: {{nowrap|1='''a''' × '''b''' = '''a''' × '''c'''}} {{nowrap|'''a''' ≠ '''0'''}} எனும்போது {{nowrap|1='''b''' = '''c'''}} என்பது உண்மையாகாது. ஆனால், but only that:
:<math> \begin{align}
\mathbf{0} &= (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) - (\mathbf{a} \times \mathbf{c})\\
&= \mathbf{a} \times (\mathbf{b} - \mathbf{c}).\\
\end{align}</math>
This can be the case where '''b''' and '''c''' cancel, but additionally where '''a''' and {{nowrap|'''b''' − '''c'''}} are parallel; that is, they are related by a scale factor ''t'', leading to:
:<math>\mathbf{c} = \mathbf{b} + t\,\mathbf{a},</math>
for some scalar ''t''.
If, in addition to {{nowrap|1='''a''' × '''b''' = '''a''' × '''c'''}} and {{nowrap|'''a''' ≠ '''0'''}} as above, it is the case that {{nowrap|1='''a''' ⋅ '''b''' = '''a''' ⋅ '''c'''}} then
:<math>\begin{align}
\mathbf{a} \times (\mathbf{b} - \mathbf{c}) &= \mathbf{0} \\
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{c}) &= 0,
\end{align}</math>
As {{nowrap|1='''b''' − '''c'''}} cannot be simultaneously parallel (for the cross product to be '''0''') and perpendicular (for the dot product to be 0) to '''a''', it must be the case that '''b''' and '''c''' cancel: {{nowrap|1='''b''' = '''c'''}}.
==மேற்கோள்கள்==
| |||