ஈருறுப்புப் பரவல்

இதையும் காண்க: எதிர்மறை ஈருறுப்பு பரவல் .

{{Probability distribution

 | type       = mass
 | pdf_image  = 
 | cdf_image  = 
Colors match the image above
 | notation   = B(n, p)
 | parameters = n ∈ N0 — number of trials
p ∈ [0,1] — success probability in each trial
 | support    = k ∈ { 0, …, n }
 | pdf        = $\textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$
 | cdf        = $I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
 | mean       = np
 | median     = ⌊np⌋ or ⌈np⌉
 | mode       = ⌊(n + 1)p⌋ or ⌊(n + 1)p⌋ − 1
 | variance   = np(1 − p)
 | skewness   = ${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
| kurtosis = ${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
| entropy = ${\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
| mgf = $(1-p+pe^{t})^{n}\!$
| char = $(1-p+pe^{it})^{n}\!$

நிகழ்தகவுத் தேற்றத்தில் மற்றும் புள்ளியியலில், ஈருறுப்பு பரவல் என்பது ஒவ்வொன்றும் நிகழ்தகவு p ன் வெற்றிவாய்ப்பைக் கொடுக்கும் n சார்பற்ற ஆம்/இல்லை தொடரில் வெற்றிவாய்ப்பு சோதனைகள் எண்ணின் தனி நிலை ஈருறுப்பு பரவல் ஆகும். இப்படிப்பட்ட ஒரு வெற்றி/தோல்வி சோதனை ஒரு பெர்னௌலி சோதனை அல்லது பெர்னௌலி முயற்சி எனவும் கூறப்படுகிறது. உண்மையில், n = 1 ஆக உள்ளபோது, ஈருறுப்பு பரவல் ஒரு பெர்னௌலி பரவல் ஆக இருக்கிறது . ஈருறுப்பு பரவல், புள்ளியியலில் முக்கியமான பிரபலமான ஈருறுப்பு சோதனைக்கு அடிப்படையாகும். ஒரு ஈருறுப்பு பரவலை, ஒரு ஈருறுப்பு முகடு (பைமோடல்)உடன் சேர்த்து குழப்பிக்கொள்ளக்கூடாது.

N. அளவு மக்கள்தொகையிலிருந்து n மாதிரி அளவின் வெற்றிவாய்ப்பினை உதாரணமாகக் காட்ட அது அடிக்கடிப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மாதிரிகள் சார்பற்றவையாக இல்லாததால் (இந்த மாதிரியானது ஈடுபடுத்த முடியாதது ), முடிவான பரவல் ஈருறுப்பு பரவலாக இல்லாமல் ஒரு அதிவடிவ பரவல் ஆக இருக்கிறது. இருப்பினும், n, ஐ விட மிக அதிகமானதாக உள்ள N க்கு ஈருறுப்பு பரவல், ஒரு சிறந்த தோராயமாக உள்ளது. மேலும் அது பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒரு எளிய உதாரணம்: ஒரு தரமான பகடையை பத்து முறை உருட்டிவிட்டு, "ஆறு" எத்தனை முறை விழுகிறது என்பதை எண்ணிக்கொள்க. சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், n = 10 மற்றும்p = 1/6 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

மற்றுமொரு உதாரணம், ஒரு நாணயத்தை மூன்று முறை சுண்டிவிட்டு எத்தனை முறை "தலை" விழுகிறது என எண்ணுதல். சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், n = 3 மற்றும் p = 1/2 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

விளக்கக்குறிப்பு

நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு

பொதுவாக, சமவாய்ப்புள்ள மாறி K , n மற்றும் p அளவுருக்களைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவலைத் தழுவுமானால், அதை K ~ B(n , p ) என எழுதுகிறோம். n நிகழ்வில் மிகச்சரியாக k வெற்றிபெரும் நிகழ்தகவு, நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பால் கிடைக்கிறது:

$\Pr(K=k)=f(k;n,p)$

$\Pr(K=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

k = 0, 1, 2, ..., n என்னும் போதும்

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

ஈருறுப்பு குணகம் எனில், (எனவே பரவல் இப்பெயர் பெற்றுள்ளது) "n தேர்ந்தெடு k ", C (n , k ), _{n C k .} , அல்லது ⁿ C _k . எனவும் குறிக்கப்படுகிறதோ அங்கு._{சூத்திரத்தை கீழ்வருமாறு புரிந்துகொள்ளலாம்: நமக்கு k வெற்றிவாய்ப்பும் (p ^k ) மற்றும்n − k தோல்விவாய்ப்பும் (1 − p )^{n − k} தேவை. இருப்பினும், k வெற்றிவாய்ப்பு n நிகழ்வில் எங்குவேண்டுமானாலும் ஏற்படலாம், மற்றும் n தொடர்நிகழ்வில்k வெற்றிவாய்ப்பு C(n , k ) வெவ்வேறான வழிகளில் உள்ளன.}

ஈருறுப்பு பரவல் நிகழ்தகவின் குறிப்பு அட்டவணைகளை தயாரிக்கும்போது, பொதுவாக அட்டவணை n /2 மதிப்புகள்வரை நிரப்பப்படுகிறது. k > n /2 ஆக இருப்பதால், நிகழ்தகவு அதன் நிரப்பியால் கணக்கிடப்படக்கூடும்

$f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!$

எனவே, வேறு ஒரு k மற்றும் வேறு ஒரு p ஐ தேடவேண்டும் (பொதுவாக ஈருறுப்பு சமச்சீர் உடையதல்ல). இருப்பினும், அதன் இயல்பு தன்னிச்சையானதாக இல்லை. பின்வரும் சமன்பாட்டுக்கு இணக்கமான m எனும் ஒரு முழு எப்போதும் உள்ளது

$(n+1)p-1$

k ன் ஒரு சார்பாக, ƒ (k ; n , p ) எனும் கோவை, (n + 1)p ஒரு முழு எண்ணாகக இருக்கும்போது மட்டுமின்றி, k < m க்கு அதிகரிக்கும் ஒருபாங்காகவும் k > m க்கு குறையும் ஒருபாங்காகவும், அமைகிறது. இந்நிகழ்வில், m = (n + 1)க்கு p மற்றும்m − 1 ஆகிய இரண்டு பெரும அளவுகள் உள்ளன. m என்பது பெர்னௌலி நிகழ்வின் மிகை நிகழ் (நிகழ்வதற்கான அதிக வாய்ப்பு ) வெளியீடுகளாக உள்ளன. அதன் நிகழ்தகவு ஓரளவு குறைவாக இருக்கும் என்பதைக் கவனியுங்கள்.

சேர்ப்பு பரவல் சார்பு

சேர்ப்பு பரவல் சார்பு பின்வருமாறு குறிக்கப்படலாம்:

$F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}.$

$\scriptstyle \lfloor x\rfloor \,$\scriptstyle \lfloor x\rfloor\, என்பது x க்குக் கீழே உள்ள "தரை" என்னும்பட்சத்தில், அதாவது x க்கு சமமான அல்லது குறைவான மிகப் பெரிய முழு எண்.

கீழ்க்கண்டவாறு அது சீராக்கப்பட்ட முடிவுறா பீட்டா சார்பு வடிவத்தில் கூட குறிக்கப்படலாம்:

${\begin{aligned}F(k;n,p)&amp;=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&amp;=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt.\end{aligned}}$

k ≤ np க்கு, பரவ சார்பின் கீழ் முனையின் மேல் எல்லைகள் காணப்படலாம். குறிப்பாக, ஹோயஃப்டிங்கின் அசமன்பாடு எல்லையைக் கொடுக்கிறது

$F(k;n,p)\leq \exp \left(-2{\frac {(np-k)^{2}}{n}}\right),\!$

மேலும் செர்னாஃப்பின் அசமன்பாடு எல்லையைக் காண பயன்படுத்தப்படலாம்.

$F(k;n,p)\leq \exp \left(-{\frac {1}{2\,p}}{\frac {(np-k)^{2}}{n}}\right).\!$

அதுமட்டுமின்றி, p = 1/2 ஆக இருக்கும்போது, எல்லா k ≥ 3n/8 களும் தொடரும் கோவைக்குப் பொருந்துவதால், இவ்வெல்லைகள் ஓரளவு இறுக்கமாக உள்ளன.

$F(k;n,1/2)\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-{\frac {16(n/2-k)^{2}}{n}}\right).\!$

சராசரி மற்றும் மாறுபாடு

X ~ B (n , p ) எனில் (அதாவது X ஒரு சமவாய்ப்பு மாறியின் ஈருறுப்பு பரவல்), X ன் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு

$\operatorname {E} [X]=np$

மற்றும் மாறுபாடு

$\operatorname {Var} [X]=np(1-p).$

இவ்வுண்மை பின்வருமாறு சுலபமாக நிரூபிக்கப்படுகிறது. ஒரு பெர்னௌலி நிகழ்வினை முதலில் எடுத்துக்கொள்வதாக வைத்துக்கொள்வோம். இரண்டு முடிவுகளுக்கான வாய்ப்புகள் உள்ளன: 1 மற்றும் 0, முதலாவதாக p நிகழ்தகவும் இரண்டாவதாக 1 − p நிகழ்தகவும். இந்நிகழ்வில் எதிர்பார்க்கும் மதிப்பு μ = 1 · p + 0 · (1−p) = pக்குச் சமமாக இருக்கும். இவ்வாறே இந்நிகழ்வின் மாறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது: σ² = (1−p)²·p + (0−p)²·(1−p) = p(1 − p).

பொதுவான ஈருறுப்பு பரவல் n சார்பற்ற பெர்னௌலி நிகழ்வுகளின் கூடுதல் ஆகும். இதுபோன்ற பரவலின் சராசரியும் மாறுபாடும், தனிப்பட்ட நிகழ்வுகளின் சராசரிகள், மாறுபாடுகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

$\mu _{n}=\sum _{k=1}^{n}\mu =np,\qquad \sigma _{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\sigma ^{2}=np(1-p).$

முகடு மற்றும் இடைநிலை அளவு

பொதுவாக B (n , p ) எனும் ஈருறுப்பு பரவலின் முகடு, ⌊ ⌋ is the தரை சார்பு(ஃப்ளோர் ஃபங்ஷன்)ஆக் இருக்கும்போது, ⌊(n + 1)p ⌋க்குச் சமமாகும். இருப்பினும் (n + 1)p ஒரு முழுவாகவும் p 0,1 ஆக இரண்டுமில்லாமலும் இருப்பின், பரவலுக்கு இரண்டு முகடுகள் உள்ளன: (n + 1)p மற்றும் (n + 1)p − 1. p 0 அல்லது 1க்குச் சமமானால், முகடு 0 மற்றும் n முறையே அமையும். இவைகள் கீழ்க்கண்டவாறு தொகுக்கப்படலாம்:

${\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &amp;{\text{if }}(n+1)p{\text{ is 0 or a noninteger}},\\(n+1)\,p\ {\text{ and }}\ (n+1)\,p-1&amp;{\text{if }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&amp;{\text{if }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}$

பொதுவாக, ஈருறுப்பு பரவலின் இடைநிலை அளவு காண சூத்திரம் ஒன்று இல்லை, மேலும் அது ஒரேமாதிரியும் அமையாது. எனினும் பல தனிப்பட்ட முடிவுகள் ஏற்படுத்தப்பட்டுள்ளன:

• np ஒரு முழு எனில், சராசரி, இடைநிலையளவு, மற்றும் முகடு ஆகியவை ஒன்றாக அமைகிறது.
• எந்தவொரு இடைநிலையளவு m ம் ⌊np ⌋ ≤ m ≤ ⌈ np ⌉. இடைவெளிக்குள் அமையவேண்டும்.
• ஒரு இடைநிலையளவு m சராசரி|m−np| ≤ min{ ln2, max{p, 1−p} லிருந்து மிகத் தொலைவில் அமைய முடியாது.
• இடைநிலையளவு ஒன்றுதான், மேலும் அது p ≤ 1 − ln2 அல்லது p ≥ ln2 அல்லது இருப்பினும் m = முழுமை(np ) சமமாக அமையும்

|m −np | ≤ min{{0}p, 1−p }, (p = ½ மற்றும் n ஒற்றை எண் என இருப்பதைத் தவிர)

• p = ½ மற்றும் n ஒற்றை எண், ½(n −1) ≤ m ≤ ½(n +1) இடைவெளியில் m ன் எந்த எண்ணும் ஈருறுப்பு பரவலின் இடைநிலை அளவாகும். p = ½ and n என்பது இரட்டை எண் எனில், m = n /2 என்பது மட்டுமே இடைநிலை அளவாகும்.

இரண்டு ஈருறுப்புகளின் இணைமாறுபாடு

இரண்டு சமவாய்ப்புள்ள மாறிகள் X மற்றும் Y ஈருறுப்பு பரவலாக இருந்து ஒரே சமயத்தில் கணக்கில்கொள்ளப்பட்டால், அவற்றின் இணைமாறுபாட்டை காணுதல் பயனுள்ளதாகும். இணைமாறுபாடு வரையறையைப் பயன்படுத்த, நிகழ்வு ஒன்று நம்மிடம் உள்ளது.

$\operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\mu _{X}\mu _{Y}$

X மற்றும் Y ஒன்று ஆக இருக்கும்போது முதல் உறுப்பு பூஜ்ஜியம் அல்லாததாகும், மேலும் μ _X மற்றும் μ _Y இரண்டு நிகழ்தகவுகளுக்குச் சமமாகும். இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் நிகழும்போது, p _B நிகழ்தகவாக வரையறுக்கப்பட்டு, இது கொடுக்கிறது

$\operatorname {Cov} (X,Y)=p_{B}-p_{X}p_{Y},\,$

மற்றும் n க்கு இப்பேற்பட்ட நிகழ்வுகள் மீண்டும் சார்பற்ற தன்மையால்

$\operatorname {Cov} (X,Y)_{n}=n(p_{B}-p_{X}p_{Y}).\,$

X மற்றும் Y ஒரே மாறியாக இருந்தால், மேலே கொடுக்கப்பட்ட இணைமாறுபாட்டிற்கான சூத்திரம் பொருந்தும்.

சராசரி மற்றும் இணைமாறுபாட்டின் இயற்கணித கணக்கீடுகள்

முதல்நிலை அடிகோள்களிலிருந்து இவ்வளவுகளைக் காண்கிறோம். குறிப்பிட்ட சில கணக்குகள் இவ்விரு வகைபாடுகளில் உள்ளன. ஈருறுப்பு நிகழ்தகவு நிறைச் சார்புகளை முழுவதும் சார்ந்திருக்கும்படி நாம் கணக்குகளையும் உறுப்புக்களையும் மாற்றியமைக்கிறோம் எப்போதும் "ஒன்று" ஆக உள்ள (pmf) தோன்றுகிறது

$\sum _{k=0}^{n}\operatorname {Pr} (X=k)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}=1.$

ஒரு தனி நிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் எதிர்நோக்கும் மதிப்பு வரையறையை ஈருறுப்பு பரவலுக்குப் பயன்படுத்துகிறோம்.

$\operatorname {E} (X)=\sum _{k}x_{k}\cdot \operatorname {Pr} (x_{k})=\sum _{k=0}^{n}k\cdot \operatorname {Pr} (X=k)=\sum _{k=0}^{n}k\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

முதல் காரணி, k , பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், தொடரின் (அடுக்குக்குறி k = 0) முதல் உறுப்பின் மதிப்பு 0. இவ்வாறாக அதை கணக்கில் கொள்ளாமல் விட்டுவிடலாம், அதாவது நாம் கீழ் எல்லையை k = 1 என மாற்றலாம்.

$\operatorname {E} (X)=\sum _{k=1}^{n}k\cdot {\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum _{k=1}^{n}k\cdot {\frac {n\cdot (n-1)!}{k\cdot (k-1)!(n-k)!}}\cdot p\cdot p^{k-1}(1-p)^{n-k}.$

நாம் ஃபேக்டோரியல்களிலிருந்து n மற்றும் k ன் காரணிகளை பிரித்துள்ளோம், மேலும் p ன் ஒரு அடுக்கு கூறுபோடப்பட்டுள்ளது. அடுக்குக்குறியீடுகளை மறுவரையறை செய்ய தயார்படுத்துகிறோம்.

$\operatorname {E} (X)=np\cdot \sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$

m = n − 1 மற்றும் s = k − 1 ஐ மாற்றுப் பெயரிடுகிறோம். இதனால் கணக்கின் மதிப்பு மாறுவதில்லை, ஆனால் இப்போது எளிதில் அடையாளங்காண முடிகிறது.

$\operatorname {E} (X)=np\cdot \sum _{s=0}^{m}{\frac {m!}{s!(m-s)!}}p^{s}(1-p)^{m-s}=np\cdot \sum _{s=0}^{m}{m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}.$

அடுத்து வரும் கணக்கு pmf எனும் முழுமையான ஈருறுப்பைப் பற்றியதாகும் (உள்ளபடி, ஆரம்பத்தில் உள்ள கணக்கில் இருப்பதைவிட ஒரு படி குறைவானது). ஆகவே

$\operatorname {E} (X)=np\cdot 1=np.$

மாறுபாடு

மாறுபாடு --க்குச் சமம் எனக் காட்டமுடியும் (பார்: மாறுபாடு கணக்கிட சூத்திரம்):

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.$

இச்சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தும்போது X ²ன் எதிர்நோக்கும் மதிப்பும் தெரிந்திருக்கவேண்டும் என்பது புலனாகிறது:

$\operatorname {E} (X^{2})=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot \operatorname {Pr} (X=k)=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

சராசரியைக் காண நாம் மேற்கொண்ட அனுபவத்தை பயன்படுத்திக்கொள்ளலாம். k ன் ஒரு காரணியை எவ்வாறு காண்பது என நமக்குத்தெரியும். இது முடிந்த அளவுக்கு நமக்கு கிடைக்கிறது

$\operatorname {E} (X^{2})=np\cdot \sum _{s=0}^{m}k\cdot {m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}=np\cdot \sum _{s=0}^{m}(s+1)\cdot {m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}$

(மீண்டும், m = n − 1 and s = k − 1 உடன்). கணக்கினை இரண்டு தனித்தனிக் கணக்குகளாகப் பிரித்து ஒவ்வொன்றையும் தனிக்கணக்காகப் பார்க்கிறோம்

$\operatorname {E} (X^{2})=np\cdot {\bigg (}\sum _{s=0}^{m}s\cdot {m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}+\sum _{s=0}^{m}1\cdot {m \choose s}p^{s}(1-p)^{m-s}{\bigg )}.$

முதல் கணக்கு, சராசரி (மேலே) கணக்கிட்ட கணக்கோடு அமைப்பில் ஒப்புமை உடையது. அது mp ன் கூடுதலை கொடுக்கிறது. இரண்டாவது கணக்கு ஒன்று.

$\operatorname {E} (X^{2})=np\cdot (mp+1)=np((n-1)p+1)=np(np-p+1).$

இம்முடிவினை கோவையில் மாறுபாடு காண பயன்படுத்தும்போது, சராசரியுடன் (E(X ) = np ), நமக்குக் கிடைக்கிறது

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=np(np-p+1)-(np)^{2}=np(1-p).$

வீழும் ஃபேக்டோரியல்களைப்பயன்படுத்தி E(X ²)ஐ காண

நம்மிடம் இருப்பது

$\operatorname {E} (X^{2})=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot \operatorname {Pr} (X=k)=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

ஆனால்

$k^{2}=k(k-1)+k.\,$

எனவே

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{2})&amp;=\sum _{k=0}^{n}(k(k-1)+k)\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&amp;=\sum _{k=0}^{n}k(k-1){n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}k{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&amp;=\sum _{k=2}^{n}k(k-1){n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum _{k=1}^{n}k{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&amp;=\sum _{k=2}^{n}n(n-1){n-2 \choose k-2}p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum _{k=1}^{n}n{n-1 \choose k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&amp;=\sum _{k=0}^{n-2}n(n-1){n-2 \choose k}p^{k+2}(1-p)^{(n-2)-k}+\sum _{k=0}^{n-1}n{n-1 \choose k}p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}\\&amp;=n(n-1)p^{2}\underbrace {\sum _{k=0}^{n-2}{n-2 \choose k}p^{k}(1-p)^{(n-2)-k}} _{=1}+np\underbrace {\sum _{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}} _{=1}\\&amp;=n(n-1)p^{2}+np\\&amp;=n^{2}p^{2}-np^{2}+np.\end{aligned}}$

ஆகவே

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=(n^{2}p^{2}-np^{2}+np)-n^{2}p^{2}=np(1-p).$

மற்ற பரவல்களோடு உள்ள தொடர்பு

ஈருறுப்பு பரவல் கணக்குகள்

X ~ B(n , p ) மற்றும் Y ~ B(m , p ) தனித்தனி ஈருறுப்பு மாறிகளானால், மீண்டும் X + Y ஒரு ஈருறுப்பு மாறி; அதன் பரவல்

$X+Y\sim B(n+m,p).\,$

பெர்னௌலி பரவல்

பெர்னௌலி பரவல்என்பது n = 1 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவலின் சிறப்புத் தன்மை ஆகும். குறியீடாக, X ~ B(1, p ) என்பது X ~ பெர்ன்(p )ன் பொருளுடையதுதான்.

இயல்நிலை தோராயம்

n = 6 மற்றும் p = 0.5 எனும் மதிப்புக்கு ஈருருப்பு PDF மற்றும் இயல்பு தோராயம்

n பெரிய அளவில் இருப்பின், பரவலின் ஒரேதளத்தில் அமையாத் தன்மை மிகப் பெரிய அளவில் இல்லை. இதில், பொருத்தமான தொடர் திருத்தம் பயன்படுத்தப்பட்டால், B(n , p )க்கு ஒரு சிறந்த தோராயம் இயல்நிலைப் பரவல் வாயிலாக கிடைக்கிறது.

${\mathcal {N}}(np,\,np(1-p)).$

பொதுவாக n அதிகரிக்கும்போது தோராயம் சிறப்பெய்துகிறது, மேலும் p ஆனது 0 அல்லது 1.க்கு அருகில் உள்ளபோது தன்மை கூடுகிறது. n போதுமான அளவு பெரிய அளவில் உள்ளதா மற்றும் கடை நிலையான பூஜ்ஜியம் அல்லது ஒன்றிலிருந்து p மிகவும் விலகியுள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, பல கட்டைவிரல் விதிகள் பயன்படுத்தப்படலாம்.

• np மற்றும் n (1 − p ) 5 ஐ விட பெரியதாய் இருக்கவேண்டும் என்பது ஒரு விதி. எனினும், கொடுக்கப்படும் விவரங்களுக்கேற்பவும் மேலும் எந்த அளவு சிறந்த தோராயம் தேவைப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தும் குறிப்பிடும் எண் மாறுபடுகிறது.

• மற்றொரு கட்டைவிரல் விதி $n>5$ இயல்நிலை தோராயம் போதுமானதாக இருப்பின் என்பதற்கானது.

$\left|{\frac {1/{\sqrt {n}}}{{\sqrt {(1-p)/p}}-{\sqrt {p/(1-p)}}}}\right|$

• அதன் சராசரியின் 3 திட்ட விலக்கத்திற்குள் உள்ள ஒவ்வொன்றும் வாய்ப்புள்ள மதிப்புகளின் வீச்சிற்குள் இருந்தால் மட்டுமே மேற்குறிப்பிட்ட இயல்நிலைத் தோராயம் பொருத்தமானது என்பதற்கு பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் மற்றொரு விதி பொருந்தும், அதாவது

$\mu \pm 3\sigma =np\pm 3{\sqrt {np(1-p)}}\in [0,n].\,$

• பொதுவாக தோராயம் அதிகரிக்கும்போது, மாறுதல் செய்யும் இடங்கள் தோன்றுகின்றன என்பதைக் காட்ட முடியும்.

$np\pm {\sqrt {np(1-p)}}$

தொடர் திருத்தம் செய்வதற்கான ஒரு உதாரணம் வருமாறு: ஒருவர் X எனும் ஈருறுப்பு சமவாய்ப்பு மாறியின் Pr(X ≤ 8)ஐ கணக்கிட விரும்பினால். Y ல் இயல்நிலை தோராயத்தால் கொடுக்கப்பட்ட பரவல் இருந்தால், பின்பு Pr(Y ≤ 8.5) ஆல் . Pr(X ≤ 8) தோராயப்படுத்தப்படுகிறது. 0.5 ஐ சேர்த்தல் தொடர் திருத்தம்; திருத்தப்படாத இயல்நிலை தோராயம் மிகச் சரியான முடிவைவிட குறை தன்மையுள்ள முடிவைக் கொடுக்கிறது.

டி மாய்வர்-லேப்லஸ் தேற்றம் எனப்படும் இத்தோராயம், அதிக நேரத்தை மிச்சப்படுத்துவது (மிகப்பெரிய n உள்ளவற்றில் மிகச்சரியாகக் கணக்கிடுதல் கடினம்); வரலாற்றுரீதியாக, 1738ல் ஆப்ரஹாம் டி மாய்வரின் புத்தகமான தெ டாக்ட்ரின் ஆஃப் சான்சஸ் ல் இயல்நிலை பரவலில் முதன்முதலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது. B(n , p ) என்பது p அளவுருவோடு சீராக பரவலிடப்பட்ட பெர்னௌலி மாறிகள்ன் n சார்பற்றவைகளின் கூடுதல் எனும் காரணத்தால், தற்காலத்தில், அது மைய எல்லை தேற்றம் விளைவாகத் தோன்றியது என அறியலாம்.

உதாரணத்திற்கு, அதிக மக்கள்தொகையிலிருந்து n மக்கள் மாதிரியை நீங்கள் எடுத்துக்கொண்டு, அவர்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கருத்தோடு ஒத்துப்போகிறார்களா என அவர்களைக் கேட்டல். ஒத்துப்போகின்ற மக்கள் விகிதம் நிச்சயம் மாதிரியைச் சார்ந்தமையும். நீங்கள் n மக்கள் குழுக்களை திரும்பத்திரும்பவும், உண்மையில் சமவாய்ப்புள்ளதாகவும், மாதிரிகளாக எடுத்துக்கொண்டால், விகிதங்களானவை, p மக்கள்தொகையோடு ஒத்துப்போகின்ற உண்மையான விகிதத்திற்குச் சமமான சராசரி மற்றும் திட்ட விலக்கம் σ = (p (1 − p )/n )^1/2 என உள்ள தோராய இயல்நிலை பரவலை நோக்கிச் செல்லும். அதிக அளவிலான மாதிரி அளவுகள் n சிறந்தவை, ஏனெனில் எதிர்நோக்கும் மதிப்பின் விகிதமான திட்டவிலக்கம், தெரியாத அளவுரு p ன் மிகச்சரியான மதிப்பீட்டைக் கொடுத்து, குறைவுபடுகிறது.

பாய்ஸான் தோராயம்

ஈருறுப்பு பரவல், np பெருக்குத்தொகை நிலையாக இருந்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை அளவிலியை நோக்கிச் செல்லும்போது, பாய்ஸான் தோராயம் நோக்கி குவிகிறது. ஆகையால், λ = np எனும் அளவுருவுள்ள பாய்ஸான் பரவல், n போதிய அளவு பெரிதாகவும் p போதிய அளவு சிறியதாகவும் இருப்பின் ஈருறுப்பு பரவலின் B(n , p )க்கு ஒரு தோராய அளவாகப் பயன்படுத்தப்படலாம். கட்டைவிரல் விதிகள் இரண்டின்படி, n ≥ 20 மற்றும் p ≤ 0.05, அல்லது n ≥ 100 அல்லது np ≤ 10. என்றிருந்தால், இத்தோராயம் சிறந்தது.

எல்லைகள்

• n ∞ ஐ நெருங்கும்போது மற்றும் p 0 ஐ நெருங்கும்போது np , λ > 0ல் நிலையாக உள்ளபோது அல்லது, குறந்தபட்சம் np λ > 0ஐ நெருங்கும்போது, ஈருறுப்பு(n , p ) பரவல், எதிர்நோக்கும் மதிப்பு λ உடன் பாய்ஸான் பரவலை நெருங்குகிறது.

• p நிலயாக இருந்து, n ∞ ஐ நெருங்கும்போது, பரவல்

${X-np \over {\sqrt {np(1-p)\ }}}$

எதிர்நோக்கும் மதிப்பு 0 மற்றும் மாறுபாடு 1 உடன் இயல்நிலை பரவல்ஐ நெருங்குகிறது (இது ஒரு மைய எல்லை தேற்றம்படியான வகை).

ஈருறுப்பு சமவாய்ப்பு மாறிகளை உருவாக்குதல்

• ல்யூக் டெவ்ராய், சீரற்ற சமவாய்ப்பு மாறி உருவாக்கம் , நியூ யார்க்: ஸ்ப்ரிங்கெர்-வெர்லக், 1986. குறிப்பாக பார் பாகம் X, டிஸ்க்ரீட் யூனிவேரியேட் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன்ஸ்.
• எஆசு:10.1145/42372.42381
  This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand

மேலும் காண்க

• பீன் மெஷின் / கால்டன் பாக்ஸ்
• பீட்டா பரவல்
• அதிவடிவ பரவல்
• பல்லுறுப்பு பரவல்
• எதிர்மறை ஈருறுப்பு பரவல்
• பாய்ஸான் பரவல்
• SOCR
• இயல்நிலைப் பரவல்
• ஈருறுப்பு விகித நம்பிக்கை இடைவெளி

புற இணைப்புகள்

• கௌண்ட்ஸ் கண்ட்ரோல் சார்ட்ஸ்', e-ஹேண்ட்புக் ஆஃப் ஸ்டேடிஸ்டிகல் மெதட்ஸ், <http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section3/pmc331.htm> [accessed 25 October 2006]
• பைனோமியல் ப்ராபபிலிடீஸ் ஸிம்ப்பிள் எக்ஸ்ப்ளனேஷன்
• SOCR பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் அப்லெட்
• CAUSEweb.org பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் உட்பட புள்ளியியல் கற்பிக்க பல கருத்துக்கள்
• க்ரிஸ் பௌசர் எழுதிய "பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன்" வொல்ஃராம் டெமான்ஸ்ட்ரேஷன்ஸ் ப்ராஜெக்ட், 2007.
• கட்-தெ-நாட்லிருந்து பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன் ப்ராபர்டீஸ் அண்ட் ஜாவா ஸிமுலேஷன்
• ஸ்டேடிஸ்டிக்ஸ் டுடோரியல்: பைனோமியல் டிஸ்ட்ரிப்யூஷன்