வளையம் (கணிதம்): திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

== உள்ளுணர்வுக் கண்ணோட்டம் ==

கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கலை வைத்து உண்டாக்கப்படுவது ‘வளையம்’ இது இரு வினைகள் கொண்டது; ஆனால் முதல் வினைக்குத்தான் எதிர்மறை உள்ளது.

== வளையத்தின் வரையறை ==

ஒரு கணம் '''R''' உள்ளது. அதில் ‘+’ என்றும் ‘*’ என்றும் இரு வினைகள் இருப்பதாகக் கொள்வோம். பின் வரும் மூன்று நிபந்தனைகளுட்பட்டால் ('''R''' , ‘+’, ‘*’) ஒரு '''வளையம்''' என்று பெயர் பெறும்:

('''R 1''') ‘+’ என்ற வினைக்கு '''R''' ஒரு [[ஏபீலியன் குலம்]] அல்லது [[பரிமாற்றுக் குலம்]]. அதாவது, இவ்வினை [[சேர்ப்பு வினை]], [[பரிமாற்று வினை]], மற்றும், R இல் ஒற்றொருமை உண்டு, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் நேர்மாறும் உண்டு.

(சேர்ப்பு / ஒட்டுறவு): '''R''' இலுள்ள எல்லா ''a, b, c'' க்கும், <math> a * (b * c) = (a * b) * c </math>

'''R''' இல் உள்ள எல்லா ''a'' க்கும் <math> e * a = a * e </math>

('''R 3''') (*) வினை (+) வினையுடன் பங்கீட்டுக்கொள்கிறது (பிரித்தளிக்கிறது); அதாவது

'''R''' இல் உள்ள எல்லா ''a, b, c'' க்கும்

== எடுத்துக்காட்டுகள் ==

ஆனால் இயற்கை எண்களின் கணம் '''''N''''', கூட்டல், பெருக்கலுக்கு வளையம் ஆகாது. ஏனென்றால் அது முதலில் கூட்டலுக்கு ஒரு குலமே ஆகவில்லை; ஒற்றொருமை இல்லை, உறுப்புகளுக்கு நேர்மாறு இல்லை.

[ ''a, b'' ] யிலிருந்து [[மெய்யெண்கணம்]] '''''R''''' க்குப்போகும் எல்லா [[தொடர் சார்பு]]களையும் C[a, b] என்ற கணம் ஆக்கினால், அதனில் இரு வினைகள் உள்ளன. ‘+’ என்ற புள்ளிவழிக் கூட்டல், ( . ) என்ற புள்ளி வழிப்பெருக்கல். இவைகளுக்கு அது ஒரு வளையம் ஆகிறது. இவ்வளையத்திற்கு '''தொடர் சார்பு வளையம்''' என்று பெயரிடலாம். இருபதாவது நூற்றாண்டில் தொடங்கப்பட்ட [[சார்புப் புகுவியல்]] (Functional Analysis) என்ற கணிதப்பிரிவில் இவ்வளையத்திற்கு முக்கிய பங்கு உண்டு. உண்மையில் C[a, b] இல் வெவ்வேறு அமைப்புகள் இயக்கப்படலாம்.

== பரிமாறா வளையம் ==

வளையத்தின் வரையறையில் ('''R 2''') இல் சொல்லப்பட்டிருக்கும் பரிமாறல் நிபந்தனைக்கு ஒவ்வாத வளையங்களும் இருக்கலாம். அவைகளை '''பரிமாறா வளையம்''' என்பர்.

வேறொரு மரபுப்படி, வளையத்தின் வரையறையில் ('''R 2''') இல் பரிமாறல் நிபந்தனையைப் போடாமலேயே இருந்துவிடுவது. அம்மரபில் பொதுவாக வளையம் என்றால் அது பரிமாறா வளையம் தான். அப்பொழுது பரிமாறல் நிபந்தனைக்கொவ்வும் வளையங்களை '''பரிமாறுவளையம்''' என்பர்.

பரிமாறா வளையத்திற்கு தரமான எடுத்துக்காட்டு எல்லா ''n x n'' [[அணி]]களின் (matrices) கணம் தான். இவ்வளையத்தில் கூட்டல் என்பது அணிக்கூட்டல். பெருக்கல் என்பது அணிப்பெருக்கல். அணிப்பெருக்கல் ஒரு பரிமாறாப் பெருக்கல் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது.