இராமானுசன் கூட்டுகை

இராமானுசன் கூட்டுகை அல்லது ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகை முடிவிலா மாறுபட்ட தொடரை ஒரு கூட்டுத்தொகை இக்கு ஒதுக்குகிறது, இது கணித மேதை இராமானுசம் கண்டுபிடித்த ஒரு நுட்பம். ஒரு மாறுபட்ட தொடரின் ராமானுஜன் கூட்டுத்தொகைபாரம்பரிய உணர்வு ஒரு தொகை இல்லை என்றாலும், இது வழக்கமானகூட்டல் வரையறுக்கப்படாத இதில் மாறுபட்ட முடிவிலா தொடர்,ஆய்வில் அது கணித பயனுள்ளதாக செய்யும் பண்புகளைகொண்டிருக்கிறது.

${\begin{aligned}{\frac {f\left(0\right)}{2}}+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {f\left(n\right)}{2}}&={\frac {f\left(0\right)+f\left(n\right)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\&=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left(f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right)+R_{p}.\end{aligned}}$

Ramanujan wrote it for the case p going to infinity:

$\sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x),$

where C is a constant specific to the series and its analytic continuation and the limits on the integral were not specified by Ramanujan, but presumably they were as given above. Comparing both formulae and assuming that R tends to 0 as x tends to infinity, we see that, in a general case, for functions f(x) with no divergence at x = 0:

$C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),$

where Ramanujan assumed $a=0$. By taking $a=\infty$ we normally recover the usual summation for convergent series. For functions f(x) with no divergence at x = 1, we obtain:

$C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1).$

C(0) was then proposed to use as the sum of the divergent sequence. It is like a bridge between summation and integration. Using standard extensions for known divergent series, he calculated "Ramanujan summation" of those. In particular, the sum of 1 + 2 + 3 + 4 + · · · is

$1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )$

where the notation $(\Re )$ indicates Ramanujan summation. This formula originally appeared in one of Ramanujan's notebooks, without any notation to indicate that it was a Ramanujan summation.

For even powers we have:

$1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )$

and for odd powers we have a relation with the Bernoulli numbers:

$1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re ).$

Those values are consistent with the Riemann zeta function.