கூட்டுத் தொடர்வரிசை: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சிNo edit summary |
No edit summary |
||
வரிசை 40:
:<math>S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.</math>
==கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை==
ஒரு வரம்புள கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளைப் பெருக்கினால் வரும் பெருக்குத்தொகையைக் கணிக்கலாம். முதல் உறுப்பு அல்லது உருப்படி ''a''<sub>1</sub> என்றும், பொதுவேறுபாடு ''d'' என்றும், மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ''n'' என்றும் கொண்டால், அந்த n உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை முடிவுறும் வாய்பாடாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
:<math>a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },</math>
மேலுள்ளவற்றில், <math>x^{\overline{n}}</math> என்பது போக்காமர் குறியீட்டில் காட்டப்படும் இயல் தொடர்பெருக்கம் (rising factorial in Pochhammer symbol), அடுத்து <math>\Gamma</math> என்ப்பது [[காமா சார்பியம்]]. (இந்த வாய்பாடு <math>a_1/d</math> என்பது எதிர்ப எண்ணாகவோ சுழியாகவோ இருந்தால் செல்லாது என்பதையும் குறிப்பிட வேண்டும்).
இது ஓர் உண்மையைப் பொதுமைப் படுத்தும் முறையால் வருவது: தொடரின் பெருக்குத்தொகை <math>1 \times 2 \times \cdots \times n</math> என்பது [[தொடர்பெருக்கம்]] (factorial) <math>n!</math>, அதன் பின் m மற்றும் n என்னும் நேர்ம இயல் எண் கூட்டுத்தொடரின் பெருக்கம்:
:<math>m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\!</math>
:<math>\frac{n!}{(m-1)!}.</math>
மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டைக் கொண்டால், n ஆவது உறுப்பை ''a''<sub>''n''</sub> = 3 + (''n''-1)(5) எனக்கொண்டால் 50 ஆவது உறுப்புவரை பெருக்கினால்
:<math>P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right) }{\Gamma \left( 3 / 5 \right) } \approx 3.78438 \times 10^{98} </math>
இப்பொழுது கூட்டுத்தொடர் ஒன்றைக் கருதுக:
<math>a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)</math>
இதில் முதல் மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை
<math>a(a+d)(a+2d)</math>
<math>=(a^{2}+ad)(a+2d)</math>
<math>=a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}</math>
இது கீழ்க்காணும் வடிவில் உள்ளது:
<math> a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1}</math>
ஆகவே, <math>n</math> உறுக்குகளின் இன் பெருக்குத்தொகை:
<math> a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1}</math>
இதற்குத் முடிவுதரும் தீர்வுகள் இல்லை.
| |||