சமானம், மாடுலோ n: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு

== சமான எண்கணிதம் பயன்படும் ஓர் அன்றாட வழக்கு ==

இன்றைய நேரம் இப்பொழுது காலை 9 மணியென்றால், இன்னும் 8 மணிநேரம் கழித்து மணி 17 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வதில் தவறொன்றுமில்லை. ஆனாலும் மக்கள் அதை மணி மாலை 5 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வார்கள், அப்படிப் புரிந்தும் கொள்வார்கள். இங்கு நாம் நம்மை அறியாமலே ஒரு சமான எண்கணிதம் கணிக்கிறோம். அதாவது, 9 + 8 =17 ஆக இருந்தாலும் 17 -12 = 5, என்று 12 மணி ஆனவுடன் அதைத் 'தள்ளிவிட்டு', மறுபடியும் 1 இலிருந்து தொடங்கி 1,2,3, என்று எண்ணுகிறோம். இதுதான் ''சமான எண்கணிதம்'' (Congruence arithmetic).

== கணிதத்தில் வரையறை ==

<math>a, b, n</math> முழு எண்களானால் <math>a</math> யும் <math>b</math> யும் <math>n</math> மாடுலோ சமானம் பெற்றிருக்கின்றன என்பதற்கு இலக்கணம்:

::* <math>a - b,</math> எண் <math>n</math> இன் முழு எண் பெருக்காக இருக்கும்.(அ-து, n ஆல் சரியாக வகுபடும்)

: <math>a \equiv b</math> (mod <math>n</math>)

: <math>a</math> சமானம் <math>b</math>, மாடுலோ <math>n</math>

இங்கு 'mod' என்ற ஆங்கிலச்சொற்குறி, 'modulus' (மட்டு) என்ற சொல்லுக்காக நிற்கிறது. 'மாடுலோ' என்ற பயன்பாடும் அச்சொல்லிலிருந்து உருவானது. இச்சொல் உலகில் எல்லா மொழிகளிலும் இப்படியே பயன்படுத்தப்பட்டு வருவதாகத் தெரிகிறது.

== உடன்விளைவு ==

'சமானம் மாடுலோ <math>n</math>' ஒரு [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]]. ஏனென்றால்,

* அது ஒரு எதிர்வு உறவு. அதாவது, <math> a \equiv a</math> (mod <math>n</math>)

* அது ஒரு சமச்சீர் உறவு. அதாவது, <math> a \equiv b</math> (mod <math>n</math>) <math>\Rightarrow b \equiv a</math> (mod <math>n</math>)

* அது ஒரு கடப்பு உறவு. அதாவது, <math>a \equiv b</math> (mod <math>n</math>) மற்றும் <math>b \equiv c</math> (mod <math>n</math>) <math>\Rightarrow a \equiv c</math> (mod <math>n</math>)

== எடுத்துக்காட்டுகள் ==

* <math>365 \equiv 1</math> (mod 7) ஏனென்றால், 365 - 1 = 364; இது 7 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

* <math>27 \equiv 0</math>(mod 3) ஏனென்றால், 27 - 0 =27; இது 3 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

* <math>100 \equiv 34</math> (mod 6) ஏனென்றால், 100 - 34 = 66; இது 6 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளை வேறுவிதமாகவும் பார்க்கலாம்.

n ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணாகவும், a, b இரண்டும் எதிர்ம எண்களாக இல்லாமலும் இருந்தால் <math>a \equiv b</math> (mod <math>n</math>) க்கு இன்னொரு இலக்கணம்:

::* <math>a</math> யும் <math>b</math> யும் <math>n</math> ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கும்.

<math>a \equiv b</math> (modulo <math>n</math>) என்று எழுதுகிறார்கள். ஆக <math>100 \equiv 34</math> (modulo 6)

மேலும், <math>a \equiv 0</math> (mod <math>n</math>) என்று சொல்வதற்குப் பொருள்: a என்ற எண், n ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

எல்லாப்பட்சத்திலும் <math> a \equiv b</math> (mod <math>n</math>) <math>\Longleftrightarrow \exists</math> முழு எண் <math>q \ni a = nq + b</math>

== மற்ற விளைவுகள் ==

* <math>a \equiv b</math>(mod <math>n</math>), மற்றும் <math>c \equiv d</math>(mod <math>n</math>) என்றால்

: <math>k</math> ஒரு முழு எண்ணானால், <math>ka \equiv kb</math> (mod <math>n</math>)