"பொன் விகிதம்" பக்கத்தின் திருத்தங்களுக்கிடையேயான வேறுபாடு

அளவில் மாற்றமில்லை ,  9 ஆண்டுகளுக்கு முன்
தொகுப்பு சுருக்கம் இல்லை
சி (பகுப்பு:வடிவவியல் சேர்க்கப்பட்டது using HotCat)
[[File:Golden ratio line.svg|right|thumb|225px|தங்கபொன் விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு. <math>a+b:a=a:b </math>]]
[[கணிதவியல்|கணிதவியலிலும்]] கலையிலும் எவையேனும் இரு அளவுகளின் கூடுதலுக்கும் அவற்றில் பெரிய அளவுக்குமான [[விகிதம்|விகிதமானது]], பெரிய அளவுக்கும் சிறிய அளவுக்குமான விகிதத்திற்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த இரு அளவுகளும் '''தங்கபொன் விகிதத்தில்''' (''golden ratio'') அமைந்துள்ளன எனப்படுகின்றன. இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரு [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா]] மாறிலி எண்ணாகும். இதன் தோராயமான மதிப்பு 1.61803398874989.<ref name=quadform/> தங்கபொன் விகிதத்தின் குறியீடு [[கிரேக்கம்|கிரேக்க]] மொழியின் சிறிய எழுத்து (<math>\varphi</math>) (phi) மற்றும் அதன் பெருக்கல் தலைகீழி <math>\frac{1}{\varphi}</math> அல்லது <math>\varphi^{-1}</math> -ன் ,குறியீடு கிரேக்க மொழியின் பெரிய எழுத்து <math>\Phi</math> (Phi) ஆகும்.
 
:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi.</math>
விகிதமுறா எண்களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தில்]] இச்[[சமன்பாடு|சமன்பாட்டிற்கு]] ஒரு நேர்மத் தீர்வு உள்ளது:
:<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\ldots</math>.
<ref name="quadform">The golden ratio can be derived by the [[quadratic formula]], by starting with the first number as 1, then solving for 2nd number ''x'', where the ratios (''x''&nbsp;+&nbsp;1)/''x'' = ''x''/1 or (multiplying by ''x'') yields: ''x''&nbsp;+&nbsp;1 = ''x''<sup>2</sup>, or thus a quadratic equation: ''x''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;''x''&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0. Then, by the quadratic formula, for positive ''x'' = (−''b''&nbsp;+&nbsp;√(''b''<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;4''ac''))/(2''a'') with ''a''&nbsp;=&nbsp;1, ''b''&nbsp;=&nbsp;−1, ''c''&nbsp;=&nbsp;−1, the solution for ''x'' is: (−(−1)&nbsp;+&nbsp;√((−1)<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;4·1·(−1)))/(2·1) or (1&nbsp;+&nbsp;√(5))/2.</ref> தங்கபொன் விகிதமானது கவின்கலை, ஓவியம், கட்டிடக்கலை, புத்தக வடிவமைப்பு, இயற்கை, இசை, நிதிச்சந்தை...என பல்வகையான துறைகளிலும் பரந்து காணப்படுகிறது.
 
[[மறுமலர்ச்சிக் காலம்|மறுமலர்ச்சிக் காலத்தில்]] இருந்தாவது, பல [[ஓவியர்]]களும், [[கட்டிடக் கலைஞர்]]களும் தமது ஆக்கங்களில் பொன் விகிதத்தைப் பயன்படுத்தினார்கள். இது பொதுவாக [[பொன் செவ்வகம்|பொன் செவ்வக]] வடிவில் அமைந்தது. நீளமும் அகலமும் பொன் விகிதத்தில் அமைந்த இச் செவ்வகம் [[அழகியல்]] அடிப்படையில் மனதுக்கு இதமானது என நம்பப்பட்டது. இவ் விகிதத்தின் தனித்துவமானதும், ஆர்வத்தைத் தூண்ட வல்லதுமான இயல்புகள் காரணமாக கணிதவியலாளர் இதனை ஆராய்ந்தார்கள்.
|[[மரியோ லிவியோ]]|''பொன் விகிதம்: "பை"யின் வரலாறு, The World's Most Astonishing Number''}}
 
வடிவவியலில் அடிக்கடி இப் பொன் விகிதம் தோன்றுவதாலேயே பண்டைக் கிரேக்கர்கள் இது பற்றி ஆய்வு செய்தனர். ஒழுங்கான நட்சத்திர ஐங்கோணம், ஒழுங்கான ஐங்கோணம் ஆகியவற்றின் வடிவவியல் தொடர்பில் ஒரு கோட்டை முடிவு மற்றும் இடை விகிதங்களாகப்விகிபொன்ளாகப் பிரிக்க வேண்டியது முக்கியமானது. இக் கருத்துருவை பித்தாகரஸ் அல்லது அவரைப் பின்பற்றுவோரே கண்டுபிடித்ததாகக் கிரேக்கர்கள் நம்புகின்றனர். ஒழுங்கான ஐங்கோணத்தை உள்ளடக்கிய ஒழுங்கான நட்சத்திர ஐங்கோணமே பித்தாகோரியர்களின் சின்னமாகும்.
 
==கணக்கிடுதல்==
''a'' மற்றும் ''b'' -இரண்டும் தங்கபொன் விகிதத்தில் அமைந்திருந்தால்:
 
:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi</math>.
 
==கணிதத்தில் ==
===தங்கபொன் விகிதத்தின் இணை===
'''φ''' -ன் இருபடிச் சமன்பாட்டின் எதிர்மத் தீர்வு (இணையியத் தீர்வு):
 
:<math>-\frac{1}{\varphi}=1-\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.61803\,39887\dots</math>.
 
இதன் எண் மதிப்பு (≈ 0.618) சிறிய அளவுக்கும் மற்றும் பெரிய அளவுக்குமுள்ள விகிதமாகும் (''b/a''). சில நேரங்களில் இம்மதிப்பு தங்கபொன் விகிதத்தின் இணை என அழைக்கப்படுகிறது.<ref name="MathWorld GR Conjugate">{{MathWorld|title=Golden Ratio Conjugate|urlname=GoldenRatioConjugate}}</ref> இதன் குறியீடு '''Φ''':
 
:<math>\Phi = {1 \over \varphi} = {1 \over 1.61803\,39887\ldots} = 0.61803\,39887\ldots</math>.
:<math>\Phi = \varphi -1 = 1.61803\,39887\ldots -1 = 0.61803\,39887\ldots.</math>.
 
இதிலிருந்து நேர்ம எண்களுக்குள் தங்கபொன் விகிதத்தின் பின்வரும் தனித்த பண்பினை அறியலாம்:
 
:<math>{1 \over \varphi} = \varphi - 1</math>.
 
===மாற்று வடிவங்கள்===
* ''φ'' = 1 + 1/''φ'' -சமன்பாட்டை மீள்வரு முறையில் விரித்து தங்கபொன் விகிதத்தினை தொடர் பின்னவடிவில் பெறலாம்:<ref>{{Cite book| title = Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme
| author = Max. Hailperin, Barbara K. Kaiser, and Karl W. Knight | publisher = Brooks/Cole Pub. Co | year = 1998 | isbn = 0-534-95211-9 | url = http://books.google.com/?id=yYyVRueWlZ8C&pg=PA63&dq=continued-fraction+substitute+golden-ratio }}</ref>
 
:<math>\varphi^{-1} = [0; 1, 1, 1, \dots] = 0 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math>
 
* ''φ''<sup>2</sup> = 1 + ''φ'' சமன்பாட்டிலிருந்து தங்கபொன் விகிதத்தை தொடர்ச்சியான வர்க்கமூல (முடிவுறா விகிதமுறா மூலம்) வடிவில் பெறலாம்:
 
:<math>\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}</math>.
 
* தங்கபொன் விகிதத்தை முடிலாத் தொடராகப் பெறலாம்:<ref>Brian Roselle, [http://sites.google.com/site/goldenmeanseries/ "Golden Mean Series"]</ref><br />
 
:<math>\varphi=\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}.</math>
 
===வடிவவியல்===
====ஒரு கோட்டுத்துண்டை தங்கபொன் விகிதத்தில் பிரித்தல்====
ஒரு [[கோட்டுத்துண்டு|கோட்டுத்துண்டை]] பின்வரும் [[வடிவவியல்|வடிவியல்]] வரைமுறையில் தங்கபொன் விகிதத்தில் பிரிக்கலாம்:
[[File:Goldener Schnitt Konstr beliebt.svg|right|thumb|250px|ஒரு கோட்டுத்துண்டை தங்கபொன் விகிதத்தில் பிரித்தல்.]]
 
* தரப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு AB -க்குச் செங்குத்தாகவும் அதன் நீளத்தில் பாதியாகவும் உள்ள கோட்டுத்துண்டு BC வரைய வேண்டும். [[செம்பக்கம் AC]] வரைய வேண்டும்.
A -ஐ மையமாகவும் AD -ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டவில் AB-ஐ S புள்ளியில் வெட்டுகிறது.
 
இப்புள்ளி S, கோட்டுத்துண்டு AB -ஐ தங்கபொன் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
 
====தங்கபொன் முக்கோணம்====
[[File:Golden triangle (math).svg|right|thumb|[[தங்கபொன் முக்கோணம்]]]]
[[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|இருசமபக்க முக்கோணம்]] ABC (கோணங்கள் B, C சமம்), [[கோணம்]] C [[இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசமவெட்டி|இருசமக்கூறிடப்படும்போது]] கிடைக்கும் புது [[முக்கோணம்]] CXB, மூல முக்கோணம் ABC -க்கு [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்ததாக]] அமையும் பண்பினைக் கொண்ட [[தங்கபொன் முக்கோணம்]].
 
கோணம் C = 2α என்க.
: 5α = 180, α = 36°.
 
எனவே முக்கோணம் ABC -ன் கோணங்கள் 36°-72°-72°. விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணம் AXC (தங்கபொன் நோமோன்) -ன் கோணங்கள் 36°-36°-108°.
 
XB -ன் நீளம் 1, மற்றும் BC -ன் நீளம் φ என்க.
: AC = BC<sup>2</sup>/BX = φ<sup>2</sup>.
 
: ஃ φ<sup>2</sup> = φ+1, எனவே இங்கு φ தங்கபொன் விகிதம். முக்கோணம் ABC தங்கபொன் முக்கோணம்.
 
இதேபோல் பெரிய முக்கோணம் AXC-ன் பரப்பிற்கும் சிறிய முக்கோணம் CXB -ன் பரப்பிற்கும் உள்ள விகிதம் '''1/φ''' (Φ). இதில் முக்கோணங்களின் வரிசையை மாற்றக் கிடைக்கும் விகிதம் '''φ - 1.'''
====ஐங்கோணம்====
 
ஒரு ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கும் ஒரு மூலைவிட்டத்திற்குமுள்ள விகிதம் 1/φ. இதன் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்ளும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் விகிதம் தங்கபொன் விகிதம் ஆகும்.
 
====ஓடோமின் வரைமுறை====
* ஒரு வட்டத்துக்குள் ஒரு சமபக்கமுக்கோணம் வரைய வேண்டும்.
* அம்முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின் [[நடுப்புள்ளி]]களை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை நீட்டித்து அதை வட்டத்தை வெட்டச் செய்ய வேண்டும்.
* இரு நடுப்புள்ளிகள் மற்றும் வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளி, இம்மூன்றும் தங்கபொன் விகிதத்தில் அமையும்.
 
====ஐந்துமுனை நட்சத்திர வடிவம்====
[[File:Pentagram-phi.svg|right|thumb|ஒரு ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திர வடிவின் வெவ்வேறு நீளங்களுடைய கோட்டுத்துண்டுகளை வேறுபடுத்துவதற்காக வெவ்வேறு நிறங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளன. நான்கு நீளங்களும் ஒன்றுக்கொன்று தங்கபொன் விகிதத்தில் உள்ளன.]]
ஐந்துமுனையுடைய நட்சத்திரங்களின் வடிவியலில் தங்கபொன் விகிதம் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது. விளிம்புகளின் ஒவ்வொரு வெட்டும் பிற விளிம்புகளை தங்கபொன் விகிதத்தில் பிரிக்கிறது. மேலும் சிறிய துண்டின் நீளத்திற்கும் இரு வெட்டும் விளிம்புகளுகளால் அடைபடும் துண்டிற்குமுள்ள விகிதம் φ ஆகும். (நட்சத்திர வடிவின் நடுவிலுள்ள ஐங்கோணத்தின் ஒரு பக்கம்).
 
இந்த நட்சத்திர வடிவில் 10 இருசமபக்க முக்கோணங்கள் (5 குறுங்கோண இருசமபக்க முக்கோணங்கள், 5 விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணங்கள்) உள்ளன. இவை எல்லாவற்றிலும் பெரிய பக்கத்திற்கும் சிறிய பக்கத்திற்குமுள்ள விகிதம் φ. 5 குறுங்கோண இருசமபக்க முக்கோணங்களும் தங்கபொன் முக்கோணங்கள். 5 விரிகோண இருசமபக்க முக்கோணங்களும் தங்கபொன் நோமோன்கள் (golden gnomons).
 
====டாலமியின் தேற்றம்====
[[File:Ptolemy Pentagon.svg|thumb|டாலமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஓர் ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தில் தங்கபொன் விகிதத்தைக் கணக்கிடலாம்.]]
ஓர் ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் தங்கபொன் விகிதப் பண்புகளை, அதன் ஒரு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சியை]] நீக்கினால் கிடைக்கும் [[நாற்கரம்|நாற்கரத்தில்]] ''டாலமியின் தேற்றத்தைப்'' பயன்படுத்திக் காணலாம். நாற்கரத்தின் பெரிய விளிம்பும் மூலைவிட்டங்களும் ''b'', மற்றும் சிறிய விளிம்பு ''a'' எனில் டாலமியின் தேற்றத்தின்படி:
 
:<math>b^2 = a^2 + ab \,</math>
17,595

தொகுப்புகள்

"https://ta.wikipedia.org/wiki/சிறப்பு:MobileDiff/950537" இருந்து மீள்விக்கப்பட்டது