முக்கோண எண்: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி r2.6.3) (தானியங்கிஇணைப்பு: ro:Număr triunghiular |
No edit summary |
||
வரிசை 1:
[[File:First six triangular numbers.svg|thumb|முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள்.]]
[[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''முக்கோண எண்''' (''triangular number'') என்பது [[வடிவ எண்]]களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில் உள்ளவாறு, ஒரு '''முக்கோண எண்''' என்பது ஒரு சமபக்க [[முக்கோணம்|முக்கோண]] வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தத்தக்க ஒரு [[எண்]]ணாகும். (மரபின்படி, முதலாவது முக்கோண எண் 1 ஆகும்.) ''n'' -ஆம் முக்கோண எண் என்பது ஒரு பக்கத்திற்கு ''n'' புள்ளிகளெனக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் அனைத்துப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும். இதன் மதிப்பு 1 முதல் ''n'' வரையிலான [[இயல் எண்]]களின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதலுக்குச்]] சமம். முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை {{OEIS|id=A000217}}:
: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,.....
இங்கே ஒவ்வொரு வரிசையும் அதற்கு முன்னுள்ள வரிசையைக்காட்டிலும் ஒரு அலகு கூடுதலாக இருப்பதைக் காட்டுகிறது. இதன்மூலம் முக்கோண எண்ணென்பது அடுத்தடுத்துவரும் [[முழு எண்]] களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமன் என்பது விளங்குகிறது.
முக்கோண எண்களுக்கான மீள்வரு வாய்ப்பாடு:
<math>T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}</math>
வலது இறுதியில் உள்ளது ஒரு [[ஈருறுப்புக் கெழு]]. இக்கெழு, ''n'' + 1 பொருள்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய சோடிகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கலில்]] உள்ள [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர் பெருக்கத்தைப்]] போன்றவை கூட்டலுக்கு முக்கோண எண்கள். தொடர் பெருக்கம் ''n'' ! ஆனது 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் பெருக்கலுக்குச் சமம். முக்கோண எண் T_n ஆனது 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
ஒவ்வொரு [[புள்ளி]]களையும் இணைத்து வரையக் கூடிய [[கோடு]]களின் எண்ணிக்கையைப் பின்வரும் வாய்ப்பாடு மூலம் காணலாம்:
<math>
L_n = L_{n-1} + 3(n-1)
</math>
புள்ளிகள் மற்றும் இக்கோடுகளின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான [[விகிதம்]]விகிதத்தின் குறிப்பிடத்தக்கதொரு பண்பு:
<math>
\lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{L_n} = \frac{1}{3}
</math>
==ஏனைய வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு==
முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.
எடுத்துக்காட்டுகள்:
* அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ஒரு [[வர்க்க எண்]]. இக்கூடுதலின் மதிப்பு, இந்த இரு முக்கோண எண்களின் வித்தியாசத்தின் [[வர்க்கம்|வர்க்கமாகும்]].
:<math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.</math>
{| cellpadding="7"
|6 + 10 = 16
|[[Image:Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg]]
|
|10 + 15 = 25
|[[Image:Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg]]
|}
மேலேயுள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டிலும், இரண்டு பொருந்துகின்ற முக்கோணங்களிலிருந்து ஒரு சதுரம் அமைவதைக் காணலாம்.
* எண்ணற்ற முக்கோண எண்கள் வர்க்க எண்களாகவும் அமைகின்றன. அவற்றுள் சிலவற்றை பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:
:<math>
அனைத்து [[வர்க்க முக்கோண எண்]]களையும் பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.
:<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2.</math>
: இதில் <math>S_0 = 0</math> மற்றும் <math>S_1 = 1.</math>
* ''n'' -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் 1 முதல் ''n'' வரையிலான முழு எண்களின் [[கனம்|கனங்களின்]] கூடுதலுக்குச் சமம்.
:<math>T_n^2= \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+3^3+ \dotsb +n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 </math>
* 1 முதல் ''n'' வரையிலான முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ''n'' ஆம் [[நாற்பட்டக எண்]]அல்லது [[நான்முகி எண்]]ணாகும்.
:<math> T_1 + T_2+T_3 +....+T_n = \frac {(n)(n+1)(n+2)} {6}.</math>
* பொதுவாக, ''n'' -ஆம் ''m'' -[[பலகோண எண்]] மற்றும் ''n'' -ஆம்t (''m'' + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (''n'' – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.
எடுத்துக்காட்டு:
: ஆறாம் [[எழுகோண எண்]] = 81. ஆறாம் [[அறுகோண]] எண் = 66
: இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு [[மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்]]ணையும் காணமுடியும்.
''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட ''k''-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:
:<math>Ck_n = kT_{n-1}+1.\ </math>
: இங்கு <math>T_(n-1) </math> -முக்கோண எண்;
:<math>Ck_n </math> -''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட ''k''-கோண எண்.
இரு முக்கோண எண்களின் நேர்ம வித்தியாசம் ஒரு [[சரிவக எண்]].
==வெளி இணைப்புகள்==
{{commonscat|triangular numbers}}
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml#square Triangular numbers] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml There exist triangular numbers that are also square] at [[cut-the-knot]]
* {{MathWorld|urlname=TriangularNumber|title=Triangular Number}}
*[http://vihart.com/blog/gauss/ Triangular numbers via 12 days of Christmas] by [[Vi Hart]]
[[ar:عدد مثلثي]]
[[ca:Nombre triangular]]
[[cs:Trojúhelníkové číslo]]
[[da:Trekanttal]]
[[de:Dreieckszahl]]
[[en:Triangular number]]
[[es:Número triangular]]
[[fr:Nombre triangulaire]]
[[ko:삼각수]]
[[is:Þríhyrningstala]]
[[it:Numero triangolare]]
[[he:מספר משולשי]]
[[la:Numerus triangularis]]
[[hu:Háromszögszámok]]
[[nl:Driehoeksgetal]]
[[ja:三角数]]
[[no:Trekanttall]]
[[pl:Liczba trójkątna]]
[[pt:Número triangular]]
[[ro:Număr triunghiular]]
[[ru:Треугольное число]]
[[simple:Triangular number]]
[[sl:Trikotniško število]]
[[fi:Kolmioluku]]
[[sv:Triangeltal]]
[[tr:Üçgensel sayı]]
[[uk:Трикутне число]]
[[vi:Số tam giác]]
[[zh:三角形數]]
== இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
| |||