ஐங்கோண எண்

கணிதத்தில் ஐங்கோண எண் (Pentagonal number) என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். முக்கோண எண் மற்றும் சதுர எண்கள் கருத்துருவானது ஐங்கோணத்துக்கு நீட்டிப்புச் செய்யப்பட்டுள்ளது. முக்கோண எண் மற்றும் சதுர எண் இரண்டின் அமைப்பிலும் உள்ள சுழற்சி சமச்சீர்த்தன்மை ஐங்கோண எண்ணுக்குக் கிடையாது. ஒரு முனையைப் பொது முனையாகக் கொண்டு வரையப்பட்ட 1 முதல் n புள்ளிகளுடைய பக்கங்களைக் கொண்ட ஒழுங்கு ஐங்கோணங்களின் சுற்றுவரைக் கோடுகளாலான ஒரு அமைப்பில் உள்ள மொத்த வெவ்வேறான புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை n -ஆம் ஐங்கோண எண் - $p_{n}\,$ ஆகும். மூன்றாவது ஐங்கோண எண்ணானது, 1, 5, 10 புள்ளிகளை சுற்றுவரைக் கோட்டில் கொண்ட தொடர் ஐங்கோண மூன்றாவது அமைப்பிலிருந்து கிடைக்கும். முதல் புள்ளி மற்றும் இரண்டாவது சுற்றுக்கோட்டில் அமையும் 5 புள்ளிகளில் மூன்று புள்ளிகள், மூன்றாவது சுற்றுக்கோட்டில் அமையும் 10 புள்ளிகளில் உள்ள மூன்று புள்ளிகளோடு பொருந்தி விடுகின்றன. எனவே மூன்றாவது தொடர் அமைப்பிலுள்ள 12 வெவ்வேறான புள்ளிகளில் 10 புள்ளிகள் ஐங்கோண வடிவிலான சுற்றுக்கோட்டின் மீதும் 2 புள்ளிகள் உட்புறமாகவும் அமைகின்றன. எனவே மூன்றாவது ஐங்கோண எண் 12.

முதல் ஆறு ஐங்கோண எண்களின் காட்சிப்படம்

$p_{n}\,$ காணும் வாய்ப்பாடு:

$p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}\,$

முதல் ஐங்கோண எண்கள் சில (n ≥ 1):

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 (OEIS-இல் வரிசை A000326) .

n -ஆம் ஐங்கோண எண்ணானது 3n-1 ஆம் முக்கோண எண்ணில் மூன்றில் ஒரு பங்காக இருக்கும்.

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., என்ற தொடர் வரிசைப்படி n -ன் மதிப்பை எடுத்துக் கொண்டு மேலே தரப்பட்ட வாய்ப்பாட்டிலிருந்து கணக்கிடப்படும் எண்கள் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்களாகும். இவ்வெண்களின் தொடர் வரிசை:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS-இல் வரிசை A001318) .

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்களின் முக்கியத்துவத்தைப் பற்றி ஆய்லர் தனது ஐங்கோண எண் தேற்றத்தில் விளக்கியுள்ளார்.

ஒரு ஐங்கோண எண்ணைக் குறிக்கும் சுற்றுவரைக் கோட்டமைப்பின் கடைசி வெளிப்புற ஐங்கோணத்திற்கு உட்புறமுள்ள அனைத்துப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்ணாகும்.

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்களும் மையப்படுத்தப்பட்ட அறுகோண எண்களும்

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்கள் மையப்படுத்தப்பட்ட அறுகோண எண்களுடன் நெருங்கிய தொடர்புடையன. ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட அறுகோண எண்ணைக் குறிக்கும் வரிசையமைப்பின் நடு நிரைக்கும் அடுத்துள்ள நிரைக்கும் இடையே இரண்டு பிரிவாகப் பிரித்தோமானால் அது இரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்களின் கூடுதல் போல் தோற்றமளிக்கும். பெரிய பகுதி ஒரு சாதாரண ஐங்கோண எண்ணைக் குறிக்கும்:

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

பொதுவாக:

$3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n)(3(1-n)-1)$

இங்கு வலப்புறத்தில் உள்ள இரு உறுப்புகளும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஐங்கோண எண்கள். முதல் உறுப்பு ஒரு சாதாரண ஐங்கோண எண்ணாகவும் இருக்கும் (n ≥ 1). மையப்படுத்தப்பட்ட அறுகோண எண்களின் இவ்வகைப் பிரிப்பு ஐங்கோண எண்களை ஒரு சரிவக வடிவ வரிசையமைப்பாகக் காட்டுகிறது.

ஐங்கோண எண்களுக்கான சோதனை

பின்வருமாறு n -ன் மதிப்பைக் கணக்கிட்டு நேர்ம எண் x ஒரு சாதாரண ஐங்கோண எண்ணா இல்லையா என்பதைத் தீர்மானிக்க முடியும்

$n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.$

n ஒரு இயல் எண் எனில் x , n -ஆம் ஐங்கோண எண். n இயல் எண் இல்லை எனில் x ஐங்கோண எண் கிடையாது.

மேற்கோள்கள்

• Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers

வெளி இணைப்புகள்

Weisstein, Eric W. "Pentagonal Number." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/PentagonalNumber.html